3.10. Математические примеры в работах Ван Гога
Математическое понятие: турбулентность
«Звездная ночь» – это одна из самых красивых и знаковых работ Ван Гога, но в последнее время она известна не только за свою красоту, но также за скрытую в ней математику.
Оказывается, закрученные узоры в «Звездной ночи», а также в «Пшеничном поле с воронами» и в «Дороге с кипарисом и звездой» (две другие картины Ван Гога) демонстрируют странное сходство с турбулентными потоками. Такой вид движения, как турбулентность, можно увидеть в речном водовороте или в дыме от костра. Турбулентность также возникает в движении жидкости в трубах, а из-за турбулентного перемешивания теплого и холодного воздуха в атмосфере мы иногда чувствуем, как самолет начинает трясти во время полета. Хотя турбулентность – понятие обычное, описать его с помощью математики крайне сложно. Чтобы это сделать, математики должны понять решение уравнения Навье-Стокса, сформулированное в 1800-х, оно описывает движения жидкостей. На самом деле, эти уравнения очень сложно решить. (Существует история с участием турбулентности и физика Вернера Гейзенберга. Когда у него поинтересовались, что бы он спросил у Бога, если бы представилась такая возможность, Гейзенберг сказал: «Когда я встречусь с Богом, я задам ему два вопроса: почему теория относительности? И почему турбулентность? Я, правда, думаю, что у него будет ответ на первый вопрос».)
Чтобы определить, совпадают ли узоры в «Звездной ночи» с характеристиками турбулентного потока, ученые исследовали яркость красок, оставленных кистями Ван Гога. Они изучили цифровую версию его картины и сравнили яркость пикселей в пределах изображения. Они обнаружили, что схема яркости соответствует уравнениям, сформулированным в 1940-х русским математиком Андреем Колмогоровым, когда он пытался понять турбулентность, используя статистику. Так что живописная манера Ван Гога действительно имеет глубокое значение.
Андрей Колмогоров
Андрей Колмогоров родился в 1903 году и был сыном сельского исследователя. У Колмогорова были разные интересы: в математике, среди прочего, он изучал теорию вероятности, топологию и турбулентность. Он также посвятил себя изучению истории и реформированию образования в Советском Союзе. Он умер в 1987 году.
8.11. Почему пройти поперек комнаты – это математический подвиг для вас?
Математические понятия: апории Зенона, бесконечность, бесконечный ряд
Если вы сейчас сидите – встаньте и сделайте несколько шагов. Простое действие – передвижение из одной точки в другую – было предметом математических и философских размышлений более 2000 лет назад для Зенона Элейского. Зенон жил в Древней Греции предположительно во времена Сократа, хотя и не существует достоверных данных о его жизни. Зенон хорошо известен за разработку серии парадоксов, направленных на стимулирование нашего мышления о понятиях, какие мы можем иметь о мире, в котором живем. Парадоксы затрагивают понятия движения и времени и, следовательно, включают математические идеи о бесконечности.
Первая апория о движении представляет собой аргумент, согласно которому движение невозможно. Представим, что вы хотите дойти от кресла до двери. Для этого вы, естественно, должны сначала дойти до середины между двумя объектами. Но перед тем, как вы дойдете до этой точки, вы должны дойти до другой точки, той, что лежит между серединой и вашей исходной позицией (что равно 1/4 пути до двери). Поэтому, чтобы пройти любое расстояние, вам нужно преодолеть бесконечное число расстояний, а так как невозможно выполнить бесконечное количество заданий, апория утверждает, что вы никогда не дойдете до двери.
Этот парадокс существует на протяжении столетий, так как не ясно, как его опровергнуть. Так как парадокс опирается на понятие, что пространство состоит из бесконечного числа единиц, кажется, что парадокс был сформулирован, чтобы указать на проблемы этого предположения. Аристотель предложил своего рода решение, когда утверждал, что расстояние между двумя точками не содержит фактической бесконечности, а содержит потенциальную бесконечность.
Только недавно математикам удалось предложить другое решение. Расстояние, которое мы должны пройти до двери, может быть представлено как сходящийся ряд: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32… Математики показали, что, хотя этот ряд бесконечно длинный, он сходится к конечному числу: 1. На самом деле, понятие, что бесконечный ряд бесконечно маленьких частей сводится к конечному целому, формирует основу исчисления и позволяет вам вычислить площадь под кривой.
Теперь, когда пойдете к двери, вы можете оценить вековые математические рассуждения под ногами!
Квантовый эффект зенона
Используя эксперименты на основе квантовых свойств атомов, ученые могут заморозить атомы во времени с помощью квантового эффекта Зенона. Наблюдая за атомом определенное количество раз в течение определенного периода, ученые могут предотвратить его распад, в сущности запирая его в реальной версии апории Зенона о стреле. (В этом парадоксе Зенон просит нас представить, как стрела вылетает из лука. В любой конкретный момент стрела занимает пространство, равное ее длине. А так как любой временной отрезок состоит из серии мгновений, Зенон утверждает, что стрела всегда находится в состоянии покоя: она никогда не находится в движении.)
3.12. Теория информации
Математическое понятие: теория информации
Время от времени находится какой-нибудь математик, который меняет ход истории. Одним из них был Клод Шеннон. В середине ХХ века Шеннон работал в Bell Labs (знаменитый исследовательский отдел AT&T), потом преподавал в Массачусетском технологическом институте. Он также был инженером по электронике и интересовался коммуникациями. Его исследование положило начало теории информации, благодаря которой появились цифровые компьютеры, Интернет и компакт-диски. Он также помог популяризировать термин «бит», что является сокращением от «двоичной цифры». Другими словами, Шеннон сделал будущее возможным.
Одна из идей пришла к Шеннону, когда он учился в магистратуре в Массачусетском технологическом институте. Он понял, что структура коммутационной схемы в аналоговых компьютерах и телефонных сетях напоминала структуру булевой алгебры (см. главу 3.19). В физическом смысле замкнутая цепь могла представлять логическое значение «истина», а открытая цепь – «ложь». В сущности, Шеннон понял, что можно записать работу логики в машине. Вы на самом деле можете решить проблему по логике и математике, используя переключатели и цепи. Это вылилось в магистерскую диссертацию Шеннона в 1938 году под названием «Символьный анализ реле и коммутаторов», теперь эту диссертацию называют самой важной диссертацией ХХ века.
