4.7. Случайные числа: действительно ли они случайны?
Математические понятия: теория чисел, криптография
Каждый слышал от кого-нибудь: «Это случайность». Но что есть случайность? И как математическая случайность связана с нашей повседневной жизнью?
Оказывается, что в эпоху Интернета случайность крайне важна. Онлайн-сделки – включая банки, розничную торговлю и другие организации, которым необходима передача конфиденциальной информации, – основаны на генерировании случайных чисел для безопасного соединения (см. главу 4.3). Ряд чисел является случайным, если в нем нет видимой закономерности и нельзя предугадать, какое число появится после любого другого числа в последовательности. Когда вы играете в кости, числа выпадают случайным образом, но так как объем онлайн-операций огромен, а требования к случайным числам настолько велики, кинуть кости или вытащить цифры для них просто невозможно.
Ученые обратились к компьютерам, чтобы генерировать случайные числа, но так как компьютеры «в глубине души» являются детерминированными машинами (следуют правилам), то генерируемые компьютером случайные числа – вовсе не случайны. Если бы кто-то узнал алгоритм, по которому компьютер выбирает числа, а также начальное число, этот человек в теории мог бы предугадывать числа в последовательности. Последовательность выглядит случайной, но в реальности таковой не является. Вот почему компьютерные генераторы случайных чисел также известны как генераторы псевдослучайных чисел.
Однако ученые приблизились к созданию действительно случайных чисел с помощью устройств, изучающих такие физические явления, как радиопомехи, квантовое поведение фотонов и выделение тепла. Эти явления могут определить свою собственную случайность без алгоритмов, созданных человеком. Так как наше доверие к случайности растет вместе с доверием к Интернету, нам нужны все по-настоящему случайные числа, какие только возможны.
Случайные числа и лотерея
Генераторы случайных чисел – это не просто инструменты в руках ученых и математиков. Если вам нравится играть в лотерею, вы можете воспользоваться некоторыми сайтами, которые генерируют случайный выбор лотереи. Просто надо знать, что это не обязательно приведет вас к выигрышным числам.
4.8. Степени десяти
Математическое понятие: масштаб
В 1977 году дизайнеры Чарльз и Рэй Имзы выпустили фильм, где продемонстрировали широкий спектр размеров в нашем мире, начиная от царства крошечных атомов и заканчивая границами известной нам Вселенной. Фильм «Степени десяти» начинается с показа пары, отдыхающей в парке Чикаго. Камера расположена в метре над парой и вскоре начинает удаляться: каждые десять секунд камера отъезжает в десять раз дальше, чем она была до этого, и в следующем кадре показано в десять раз больше, чем в предыдущем. Вскоре зритель видит весь Чикаго, а потом и всю Землю. В конце концов, зритель покидает Солнечную систему и даже галактику Млечного Пути, путешествуя сквозь световые годы, чтобы увидеть структуру галактик во Вселенной.
Затем камера возвращается к паре и начинает приближаться, фокусируясь на руке мужчины. Теперь камера приближается в десять раз ближе каждые 10 секунд и в конце концов показывает протоны и нейтроны в ядре атома углерода в руке мужчины.
В целом путешествие охватывает 40 степеней десяти от 10–16 до 1024 метров. Путешествие стало возможным путем добавления нуля к концу шкалы измерения.
Гугол
Некоторые числа можно назвать, но для восприятия они слишком велики. Одно из таких чисел – гугол = 10100 или 1 и 100 нулей после нее. Название «гугол» было создано в 1938 году Милтоном Сироттой, 9-летним племянником математика Эдварда Каснера. Насколько гугол большой? Представьте, что общее количество элементарных частиц во Вселенной составляет примерно 1080.
4.9. Метрическая система
Математическое понятие: система измерений
Для большинства стран мира стандартной системой измерения является метрическая система. Метрическая система была изобретена во Франции в 1799 году и была предназначена заменить разные стандарты измерения в Европе, которые отличались в каждом городе, округе и стране. Метрическая система облегчает измерения, определяя стандартную цифру основных единиц – метр, килограмм и секунда, – и позволяет людям модифицировать их, добавив префикс. А так как префиксы основаны на кратных числах 10, метрическая система еще известна как десятичная система. Вот некоторые префиксы:
Микро = 1/1 000 000
Милли = 1/1000
Санти = 1/100
Деци = 1/10
Дека = 10
Гепта = 100
Кило = 1000
Мега = 1 000 000
Так, например, километр – это расстояние, равное 1000 метрам, миллиграмм – масса, равная 1/1000 грамма. Другие базовые метрические единицы включают в себя ампер для электрического тока; кельвин для термодинамической температуры; моль для количества вещества; и канделу для света.
Одним из самых захватывающих аспектов метрической системы является то, как собственно определяются базовые единицы. Давайте рассмотрим метр. Сначала стандартный метр был охарактеризован как 1/10 млн расстояния между экватором и Северным полюсом, измеренное через Париж. Но из расчетов было исключено небольшое уплощение кривизны Земли, то есть расчеты отклонялись на 0,2 мм (Земля не идеальный шар). Позднее в 1889 году метр был определен как длина определенного металлической перекладины из платины или иридия. Однако ученым было неудобно использовать такие стандарты, так как перекладина могла менять форму в разных температурах и деформироваться при неправильной поддержке; любая попытка определить температуру метровой перекладины и системы поддержки должна была бы опираться на метрические единицы, включая сантиметры. Но так как метровая перекладина должна быть стандартной метрической единицей длины, то измерение ее с помощью других метрических единиц просто невозможно.
В наши дни стандартный метр измеряется более универсальным образом: как расстояние, которое свет проходит в вакууме за 1/299,792,458 секунды.
Английская система
Английская система отличается от метрической тем, что ее единицы измерения разрабатывались в Англии веками и включают в себя единицы, которые использовали древние римляне и англосаксы. Названия этих единиц довольно благозвучны и включают такие термины, как «драхма», «пинта», «хогсхед». Ну, а если вы разбираетесь в вине, то знаете, что 4,5-литровая бутылка называется Реобоам, а 15-литровая – Навуходоносор.
