Аксиомы Пеано интересны тем, что на основании этих малейших отправных точек можно создать серьезные математические построения. На первый взгляд сами аксиомы касаются только целых чисел, но даже Пеано показал, что, начав с аксиом и двигаясь дальше посредством определения и логической дедукции, можно определить рациональные числа и их основные свойства
[313]. После того как в XIX столетии было обнаружено, что общепринятые определения в математическом анализе и геометрии логически неполноценны, мир математики охватил кризис и смятение. Гильберт воспринимал формализм как способ начать все с чистого листа, опираясь при этом на фундаментальную, абсолютно непреложную основу.
Однако программу Гильберта преследовал призрак – призрак противоречия. Представьте себе такой кошмарный сценарий. Члены математического сообщества, работая в тесном сотрудничестве друг с другом, перестраивают весь аппарат теории чисел, геометрии и исчисления, начиная с фундаментальных аксиом, и кирпичик за кирпичиком выстраивают новые теоремы, прикрепляя каждый новый уровень к предыдущему с помощью правил дедукции. А затем однажды математик из Амстердама приводит доказательство того, что определенное математическое утверждение истинно, тогда как другой математик из Киото приводит доказательство того, что это не так.
Что теперь? Начав с утверждений, которые невозможно поставить под сомнение, мы пришли к противоречию. Следует ли из этого вывод, что аксиомы ошибочны? Или что ошибка содержится в структуре самого логического вывода? А что делать с десятилетиями работы, основанной на этих аксиомах
[314]?
Таким образом, вторая проблема в списке проблем, которые Гильберт представил перед собравшимися в Париже математиками, была сформулирована так:
Однако прежде всего я хотел бы обозначить следующее как самый важный среди многочисленных вопросов, которые можно поставить в отношении аксиом: доказать, что они непротиворечивы, другими словами, – что конечное число основанных на них логических рассуждений не может привести к получению противоречивых результатов.
У кого-то возникнет искушение заявить, что подобное просто не может произойти. Разве это возможно? Ведь очевидно, что аксиомы истинны. Однако для древних греков было не менее очевидным, что геометрическая величина должна представлять собой соотношение двух целых чисел: такими были их представления о математике до тех пор, пока теорема Пифагора и упорно иррациональный квадратный корень из двух не разрушили эту систему понятий. Математике свойственна скверная привычка демонстрировать, что время от времени то, что кажется очевидно истинным, оказывается абсолютно ошибочным. Возьмем в качестве примера хотя бы Готлоба Фреге – немецкого логика, который, подобно Гильберту, не покладая рук трудился над укреплением логических основ математики. В центре внимания Фреге была не теория чисел, а теория множеств. Он также начал с последовательности аксиом, которые казались настолько очевидными, что их вряд ли нужно было формулировать. В теории множеств Фреге множество представляло собой не что иное, как совокупность объектов, называемых элементами. Для обозначения множеств, в которые входят определенные элементы, обычно используются фигурные скобки {}. Так, {1, 2, поросенок} – это множество, элементами которого являются число 1, число 2 и поросенок.
Когда некоторые элементы множества обладают определенным свойством, а другие нет, такое множество представляет собой совокупность элементов с указанным свойством. Давайте сформулируем это немного проще: существует множество поросят, и среди них есть желтые поросята, которые образуют множество желтых поросят. Здесь трудно с чем-то не согласиться. Однако эти определения носят весьма обобщенный характер. В качестве множества может выступать совокупность поросят, действительных чисел, идей, возможных вселенных или других множеств. И именно последний случай создает множество проблем. Существует ли множество множеств? Безусловно. А множество всех бесконечных множеств? Почему бы нет? На самом деле оба эти множества обладают любопытным свойством: они являются элементами самих себя. В частности, множество бесконечных множеств – это, разумеется, само по себе бесконечное множество, элементы которого содержат множества такого типа:
{целые числа}
{целые числа, а также поросенок}
{целые числа, а также Эйфелева башня}
и так далее, и тому подобное. Очевидно, что этому нет конца.
Мы могли бы назвать такое множество уроборическим, по имени мифического змея, который кусает себя за хвост и пожирает сам себя. Следовательно, множество бесконечных множеств является уроборическим, но множество {1, 2, поросенок} нет, поскольку ни один из его элементов не является множеством {1, 2, поросенок}: все его элементы – это либо числа, либо животные, но не множества.
Теперь наступает кульминационный момент. Путь NO – это множество всех неуроборических множеств. NO – достаточно странная концепция, чтобы представить ее себе, но, если определение Фреге допускает это в мире множеств, мы тоже должны сделать это.
Является ли NO уроборическим множеством или нет? Другими словами, является ли NO элементом NO? Согласно определению, если NO – это уроборическое множество, тогда NO не может входить в состав NO, которое состоит только из неуроборических множеств. Но утверждать, что NO не является элементом NO, – это равносильно утверждению о том, что NO – это неуроборическое множество, то есть оно не содержит себя.
Но подождите-ка: если NO – это неуроборическое множество, тогда это элемент множества NO, которое является множеством всех неуроборических множеств. Выходит, что NO – это все же элемент NO, то есть NO – уроборическое множество.
Если NO – уроборическое множество, оно таковым не является, а если это не уроборическое множество, то оно является таковым.
Примерно таким было содержание письма, которое молодой Бертран Рассел написал Фреге в июне 1902 года. Рассел познакомился с Пеано в Париже на Международном конгрессе. Неизвестно, присутствовал ли он на докладе Гильберта, но он безусловно был сторонником программы сведения всей математики к чистой последовательности выводов из базовых аксиом
[315]. Письмо Рассела начинается как письмо молодого почитателя к старшему логику: «Я согласен с вами по всем основным моментам, особенно с вашим неприятием психологического элемента в логике и с тем значением, которое вы придаете концептуальному обозначению основ математики и формальной логике, которую, кстати говоря, трудно распознать».
