x = 20 – 2√105,
что равно –0,4939015319…
В качестве ответа на наш первоначальный вопрос это решение в каком-то смысле абсурдно. В ответ на вопрос: «Когда ракета ударит по мне?» – нельзя сказать: «Полсекунды назад».
Тем не менее это отрицательное значение х представляет собой решение данного уравнения, а когда математика говорит нам что-то, мы должны хотя бы попытаться прислушаться к ней. Что означает отрицательное число? Вот один из способов понять это. Мы сказали, что ракета была запущена с высоты 100 метров над поверхностью земли, со скоростью 200 метров в секунду. Однако на самом деле это означало только то, что в момент времени 0 ракета двигалась вверх с указанной скоростью с данного местоположения. Что если на самом деле ракета была запущена из другого места? Может быть, запуск ракеты произошел не в момент 0 с высоты 100 метров, а немного раньше, причем прямо с поверхности земли. В какое же время это произошло?
Расчеты говорят нам о следующем: существует в точности два момента времени, в которые ракета находится на уровне земли. Один момент – 0,4939… секунды назад. Именно в это время ракета была запущена. Другой момент – через 40,4939… секунды от настоящего момента. В это время ракета приземлится.
Вполне возможно, что получение двух ответов на один и тот же вопрос не кажется вам проблематичным, особенно если вы привыкли иметь дело с формулой корней квадратного уравнения. Однако, если вам исполнилось всего двенадцать лет, это порождает настоящий мировоззренческий сдвиг. Вы провели шесть долгих лет учебы в школе, пытаясь разобраться, в чем же ответ, а теперь выясняется, что такой вещи вообще нет.
И это только квадратные уравнения! А если вам придется решить такое уравнение:
x³ + 2x² – 11x = 12?
Это кубическое уравнение, другими словами, уравнение, в котором есть х, возведенный в третью степень. К счастью, существует формула корней кубического уравнения, позволяющая посредством прямых вычислений определить, какое значение х можно ввести в решающее устройство, повернуть рычаг и получить ответ 12. Но вы не учили в школе формулу корней кубического уравнения, поскольку это достаточно сложное уравнение, составленное только в конце эпохи Возрождения, когда странствующие алгебраисты скитались по всей Италии, втягивая друг друга в ожесточенные математические баталии, в которых ставкой выступало решение уравнений, а на кону стояли деньги и статус. Немногие математики, знавшие формулу корней кубического уравнения, держали ее в секрете и записывали только в виде зашифрованных стихов
{81}.
Но это длинная история. Суть в том, что метод обратных вычислений довольно сложен.
Трудность задачи логического вывода (той самой задачи, над решением которой работали исследователи, искавшие в библейские скрытые коды) обусловлена тем, что это именно такая задача. Будь мы ученые, или исследователи Торы, или малыши, изумленно взирающие на тучи, – в любом случае мы имеем дело лишь с наблюдениями. На их основе мы строим гипотезы: из какого исходного материала создан мир, который мы видим? Логический вывод таков: мы столкнулись с трудной задачей, возможно, самой трудной из всех задач. Отталкиваясь от формы туч и их движения, мы проходим обратный путь, чтобы найти х – систему, которая их создала.
Опровержение нулевой гипотезы
Все это время мы пытаемся найти ответ на фундаментальный вопрос: в какой степени мне следует удивляться тому, что я вижу в этом мире? Моя книга посвящена математике, а значит, вы догадываетесь, что существует численный способ ответить на этот вопрос. Такой способ действительно существует, но он таит в себе опасность. Пришло время поговорить о p-значениях.
Однако сначала нам нужно обсудить тему маловероятности, в отношении которой наши представления были до сих пор неприемлемо расплывчатыми. У этого есть своя причина. Существуют области математики (такие как геометрия и арифметика), которым мы учим детей и которым дети в какой-то мере учатся сами. Эти области математики наиболее отвечают нашей врожденной интуиции. Мы рождаемся, почти зная о том, как считать и разделять объекты на категории по таким признакам, как место и форма. Формальное математические толкование подобных концепций не так сильно отличается от того, с чего мы начинаем.
Совсем другое дело – вероятность. Безусловно, мы размышляем о неопределенных вещах, опираясь на внутреннее интуитивное восприятие, но сформулировать все это гораздо труднее. Есть причина, почему математическая теория вероятностей возникла на столь позднем этапе истории математики и почему она так поздно появляется в учебном плане по математике. Если вы попытаетесь задуматься, что означает вероятность, у вас голова пойдет кругом. Когда мы говорим: «Подброшенная монета упадет лицевой стороной вверх с вероятностью 1/2», – мы ссылаемся на закон больших чисел (из главы четвертой), который гласит, что, если вы будете подбрасывать монету много раз, доля аверсов непременно приблизится к 1/2, как будто заключенная в сужающийся канал. Такой подход обозначается термином «частотный подход к вероятности».
Но что мы имеем в виду, когда говорим: «Вероятность того, что завтра будет дождь, составляет 20 %»? Завтра наступает только один раз, значит, это не эксперимент, который мы вольны повторять снова и снова, как в случае подбрасывания монеты. Приложив определенные усилия, мы можем втиснуть прогноз погоды в частотную модель, подразумевая при этом, что в большой совокупности дней с соответствующими условиями на следующий день будет дождь с вероятностью 20 %. Но, пытаясь ответить на вопрос: «Какова вероятность, что через следующих тысячу лет род человеческий вымрет?» – вы снова оказываетесь в тупике. Это по своей сути такой эксперимент, который вы никак не сможете повторить. Мы используем вероятность даже тогда, когда говорим о событиях, которые вообще невозможно отнести на волю случая. Какова вероятность того, что потребление оливкового масла предотвращает рак? Какова вероятность того, что Шекспир был автором пьес Шекспира? Какова вероятность того, что Бог написал Библию и сотворил Землю? Трудно признать право на описание таких событий на том же языке, который мы используем для оценки подбрасывания монет и бросания костей. Тем не менее мы все-таки отвечаем на эти вопросы фразами: «Пожалуй, это маловероятно» или: «Кажется, это вполне вероятно». Но если мы так делаем, то сможем ли мы удержаться от соблазна спросить: «Насколько это вероятно?»
Одно дело – задать вопрос, и совсем другое – ответить на него. Я не могу представить себе эксперимент, который позволил бы определить вероятность того, что Всевышний действительно находится там, выше всех (или что Он – это действительно «он», если уж на то пошло). Следовательно, мы должны использовать следующий лучший вариант – во всяком случае лучший с точки зрения традиционной статистической практики. (Как мы увидим позже, по этому вопросу существуют разногласия.)
