Это неизбежно приводит нас к умозаключению, что с высокой степенью статистической достоверности гипотеза Н неверна, а значит, испытуемые, входящие в состав данной выборки, – не люди.
Возникает большой соблазн считать, что выражение «очень маловероятное событие» означает то же, что и «по существу невозможное событие», а затем все чаще произносить слова «по существу» только мысленно, пока мы вообще не перестанем принимать их во внимание
[126]. Однако невозможное и маловероятное – это совсем не одно и то же. Невозможное не происходит никогда, а вот маловероятное случается часто. Это означает, что мы становимся на шаткую логическую почву, когда пытаемся делать выводы из маловероятных результатов наблюдений, как того требует доказательство от маловероятного. Когда в розыгрышах лотереи Северной Каролины два раза на протяжении одной недели выпала одна и та же комбинация чисел 4, 21, 23, 34, 39, это подняло много вопросов: может, что-то не так с самой игрой? Однако каждая комбинация цифр может выпасть с точно такой же вероятностью, что и любая другая комбинация. Выпадание чисел 4, 21, 23, 34, 39 во вторник и чисел 16, 17, 18, 22, 39 в четверг – это в точности такое же маловероятное событие, как и то, что произошло на самом деле: вероятность получения двух комбинаций чисел в эти два дня составляет всего один шанс из примерно 300 миллиардов. В действительности вероятность выпадания любой конкретной комбинации чисел во время розыгрыша лотереи во вторник и в четверг составляет один шанс из 300 миллиардов. Если вы придерживаетесь точки зрения, что такой в высшей степени маловероятный результат дает вам основания, чтобы поставить под сомнение честность игры, вы станете человеком, который на протяжении всей своей жизни каждый четверг отправляет уполномоченному по лотереям сердитое письмо, какие бы числа ни выпали из барабана.
Не становитесь таким человеком.
Кластеры простых чисел и структура бесструктурности
Критическая оценка Митчеллом идеи, что наш взгляд обнаружил бы скопления звезд, даже если бы они были случайно распределены по полю зрения, применима не только к небесной сфере. Этот феномен лег в основу сюжета пилотного эпизода математического детективного сериала Numb3rs
[127]. Во всем множестве ужасных преступлений, отмеченных булавками на настенной карте в штаб-квартире ФБР, нет никаких кластеров; следовательно, это работа одного хитрого серийного убийцы, намеренно оставляющего место между жертвами, а не всплески активности психопатов, не связанные между собой. Сюжет был задуман как детективная история, но с математической точки зрения он абсолютно корректен.
Наличие кластеров в случайных данных позволяет постичь суть происходящего даже в ситуациях, в которых вообще отсутствует элемент случайности, как в поведении простых чисел. Известный преподаватель математики из Университета Нью-Гемпшира Итан Чжан по прозвищу Том в 2013 году потряс весь мир чистой математики, когда объявил, что доказал гипотезу об ограниченных промежутках, касающуюся распределения простых чисел
{119}. Чжан был лучшим студентом Пекинского университета, но, после того как в 1980-х годах переехал в США для получения ученой степени, так и не добился особых успехов. После 2001 года он не опубликовал ни одной научной работы. В какой-то момент Чжан вообще перестал заниматься академической математикой и продавал сэндвичи в метро, пока бывший однокурсник из Пекина не нашел его и не помог получить должность лектора в Университете Нью-Гемпшира. Все как будто говорило о том, что как ученый Чжан не состоялся. Именно поэтому большой неожиданностью стала его публикация с доказательством теоремы, которую безуспешно пытались одолеть некоторые крупнейшие специалисты по теории чисел.
Однако сам факт, что гипотеза оказалась истинной, не стал неожиданностью. Математики имеют репутацию неисправимых упрямцев, не верящих в существование феномена до тех пор, пока этот факт не будет установлен и доказан. Но это не совсем так. Все мы верили в истинность гипотезы об ограниченных промежутках еще до большого откровения Чжана, и все мы убеждены в истинности тесно связанной с ней гипотезы о простых числах-близнецах, хотя она до сих пор остается недоказанной. Почему?
Давайте начнем с того, о чем говорят эти две гипотезы. Простые числа – это числа больше 1, которые не делятся ни на какое число, кроме самого себя (и 1). Следовательно, 7 – это простое число, тогда как 9 – нет, поскольку оно делится на 3. Вот начало ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Каждое положительное число можно выразить в виде произведения простых чисел только одним способом. Например, число 60 раскладывается на два раза по два, один раз три и один раз пять, поскольку 60 = 2 × 2 × 3 × 5. (Вот почему мы не держим единицу за простое число (хотя в прошлом некоторые математики считали именно так): это нарушило бы уникальность разложения, поскольку, если 1 считать простым числом, число 60 можно записать как 2 × 2 × 3 × 5, 1 × 2 × 2 × 3 × 5, 1 × 1 × 2 × 2 × 3 × 5…). Что можно сказать о самих простых числах? С ними все в порядке: любое простое число, скажем число 13, – это произведение одного простого числа, самого числа 13. А как насчет 1? Мы исключили 1 из списка простых чисел, так как это может быть произведением простых чисел, каждое из которых больше 1? Очень просто: 1 – это произведение нуля простых чисел.
В этот момент меня часто спрашивают: «Почему произведение нуля простых чисел равно 1, а не 0?» Вот одно несколько запутанное объяснение. Если взять произведение какого-то множества простых чисел, скажем чисел 2 и 3, а затем разделить его на умноженные простые числа, у вас останется произведение чисел, которых уже нет; при этом 6, разделенное на 6, равно 1, а не 0. (С другой стороны, сумма нуля чисел действительно равна 0.)
[128]
