Простые числа – элементарные частицы теории чисел, базовые неделимые элементы, из которых состоят все числа. По этой причине они были объектом активного изучения с самого начала теории чисел. Одной из первых теорем, доказанных в теории чисел, стала теорема Евклида, гласившая, что существует бесконечное количество простых чисел: они никогда не закончатся, каким бы длинным ни был числовой ряд, который может составить наш разум.
Однако математики всегда жаждут большего; они не желают удовлетворяться одним только утверждением о бесконечности. В конце концов, есть бесконечность и есть бесконечность. Существует бесконечное количество степеней числа 2, но они встречаются очень редко. В первой тысяче чисел всего десять степеней числа 2
[129]:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512.
С другой стороны, существует бесконечно большое количество четных чисел, но они встречаются гораздо чаще: четных чисел в точности 500 из первых 1000 чисел. На самом деле очевидно, что из любых N чисел около (1/2) N чисел будут четными.
Как оказалось, простые числа занимают промежуточное положение: они более распространены, чем степени числа 2, но встречаются реже, чем четные числа. Из первых N чисел N/log N чисел являются простыми. Эту теорему о распределении простых чисел доказали в конце XIX столетия специалисты по теории чисел Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен.
Несколько слов о логарифме и флогарифме
Я обратил внимание на такой факт: почти никто не знает, что такое логарифм. Позвольте мне исправить эту ситуацию. Логарифм положительного числа N, который обозначается как log N, – количество цифр, из которых состоит это число.
Погодите-ка, разве это действительно так? Это и есть логарифм?
Нет, на самом деле не совсем так. Мы можем назвать количество цифр в числе «фальшивым логарифмом», или флогарифмом. Флогарифм достаточно близок к реальному логарифму, чтобы дать общее представление о смысле логарифма в данном контексте. Флогарифм (а значит, и логарифм) – чрезвычайно медленно растущая функция: флогарифм тысячи равен 4, флогарифм миллиона (в тысячу раз большего числа) равен 7, а флогарифм миллиарда – всего 10
[130].
Вернемся к кластерам простых чисел
Теорема о распределении простых чисел гласит, что доля простых чисел среди первых N целых чисел составляет около 1/log N. В частности, простые числа встречаются все реже по мере увеличения чисел, хотя частота встречаемости простых чисел уменьшается очень медленно: случайное число из двадцати цифр может быть простым с вероятностью, в два раза меньшей, чем число из десяти цифр.
Вполне естественно предположить, что чем чаще встречаются числа определенного типа, тем меньше промежутки между такими числами. В случае четного числа вам не придется перемещаться вперед больше, чем на два числа, чтобы найти следующее четное число; на самом деле промежутки между четными числами всегда составляют ровно 2. В случае степеней числа 2 совсем другая история. Промежутки между двумя следующими друг за другом степенями числа 2 возрастают по экспоненциальному закону, неуклонно увеличиваясь все больше и больше, по мере того как вы проходите эту последовательность. Например, добравшись до степени 24 = 16, вы больше никогда не увидите две степени числа 2, расстояние между которыми составляет 15 или менее.
Это две простые задачи, а вот вопрос о промежутках между последовательными простыми числами более сложен. На самом деле этот вопрос настолько сложен, что даже после прорыва Чжана он во многих отношениях остается загадкой.
Тем не менее, на наш взгляд, мы знаем, чего ожидать, благодаря удивительно плодотворной точке зрения: давайте считать простые числа случайными величинами. Причина столь высокой плодотворности этой точки зрения состоит в том, что она в высшей степени ошибочна. Простые числа не являются случайными! В них нет ничего произвольного, и они не подвержены воле случая. Напротив, мы воспринимаем их как неотъемлемый элемент Вселенной; мы вырезаем их на золотых табличках и отправляем в межзвездное пространство, чтобы доказать представителям внеземных цивилизаций, что мы не дураки.
Простые числа не относятся к категории случайных величин, но они во многих отношениях ведут себя так, словно они случайные числа. Например, если разделить произвольное целое число на 3, в остатке с равной вероятностью будет либо 0, либо 1, либо 2. Если разделить большое простое число на 3, частное не может быть целым числом, поскольку в противном случае так называемое простое число можно было бы разделить на 3, а это значило бы, что оно вовсе не простое. Однако старая теорема Дирихле гласит, что остаток 1 имеет место с такой же вероятностью, что и остаток 2, – точно так же, как и в случае случайных чисел. Следовательно, с точки зрения «остатка от деления на 3» простые числа напоминают случайные числа, не считая того, что они не могут быть кратны 3.
А что насчет промежутков между последовательными простыми числами? Можно предположить, что, поскольку по мере увеличения чисел простые числа встречаются все реже, они становятся более отдаленными друг от друга. В целом это действительно так. Однако Чжан доказал, что существует бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга максимум на 70 миллионов. Другими словами, множество простых чисел, разница между которыми не превосходит 70 миллионов, бесконечно. В этом и состоит гипотеза об ограниченных промежутках между простыми числами.
Почему 70 миллионов? Потому, что это то, что Чжан смог доказать. В действительности публикация работы Чжана повлекла за собой взрыв активности: математики всего мира начали работать вместе в рамках проекта Polymath (своего рода онлайнового кибуца) над сужением промежутка, применяя для этого различные варианты метода Чжана. В июле 2013 года этой группе математиков удалось доказать, что существует бесконечно больше промежутков, не превышающих 5414. В ноябре Джеймс Мэйнард, только что получивший ученую степень в Монреале, сократил этот промежуток до 600, а участники проекта Polymath начали активно работать над объединением его идей с идеями группы. К тому моменту, когда вы будете читать данную книгу, этот промежуток, вне всяких сомнений, станет еще меньше
[131].
