Несмотря на кажущуюся простоту гипотезы об ограниченных промежутках, доказательство Чжана требует ряда самых глубоких теорем современной математики
[135]. Опираясь на работы многих предшественников, Чжан смог доказать, что простые числа выглядят случайными в первом смысле, о котором мы уже упоминали, когда говорили об остатках, полученных после деления на множество различных целых чисел. Исходя из этого
[136], он смог доказать, что простые числа ведут себя как случайные величины и в совершенно другом смысле, связанном с размером промежутков между ними. Случайное случайно!
Достижение Чжана, наряду с работой других крупных современных ученых в этой области, таких как Бен Грин и Терри Тао, указывает на наличие еще более волнующей перспективы, чем любой отдельный результат в области простых чисел: возможно, в конечном счете мы встали на путь разработки более богатой теории случайности. Собственно говоря, речь идет о способе точного определения того, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что числа ведут себя так, будто они разбросаны в случайном порядке без какой-либо организующей структуры вопреки тому, что они возникают вследствие абсолютно детерминированных процессов. Какой замечательный парадокс: то, что помогает нам разгадать последние тайны простых чисел, может оказаться новой математической идеей, которая структурирует саму концепцию бесструктурности.
Глава девятая
Международный журнал Гаруспиции
Вот притча, которую я узнал от статистика по имени Козма Шализи
{120}. Представьте, что вы гаруспик, то есть человек, который предсказывает будущие события по внутренностям принесенных в жертву овец, особенно тщательно подвергается анализу их печень. Безусловно, вы не считаете свои предсказания надежными только потому, что придерживаетесь практики, предписанной этрусскими божествами. Это было бы нелепо. Вам нужны доказательства. Поэтому вы и ваши коллеги отправляете материалы своей работы в рецензируемый журнал под названием «Международный журнал гаруспиции
[137]», чьи правила требуют, чтобы все без исключения опубликованные результаты прошли проверку на статистическую значимость.
Гаруспиция, особенно научно обоснованная, подкрепленная фактами, – не слишком легкое занятие. Во-первых, вы проводите много времени, пачкаясь в крови и желчи. Во-вторых, многие из ваших экспериментов не дают требуемых результатов. Вы пытаетесь использовать внутренности овцы для того, чтобы предсказать цену акций Apple, – и терпите неудачу; пытаетесь смоделировать долю голосов, которые отдадут за демократов выходцы из Латинской Америки, – и получаете неверный результат; пытаетесь оценить глобальный уровень предложения нефти – и снова терпите неудачу. Боги весьма своенравны, поэтому не всегда можно точно определить, какое расположение внутренних органов и какие именно заклинания позволят достоверно раскрыть будущее. Иногда разные гаруспики проводят один и тот же эксперимент, который одному обеспечивает нужный результат, а другому нет – кто знает, почему? Все это приводит в уныние. Порой вам хочется все бросить и поступить в юридическую школу.
Однако занятие гаруспицией того стоит – благодаря тем моментам открытия, когда все работает, и вы видите, что текстура и выступы на печени действительно предсказывают тяжелую эпидемию гриппа следующей зимой. И вы, молча поблагодарив богов, публикуете результаты своей работы.
Возможно, вы обнаружите, что это происходит в одном случае из двадцати.
При любых условиях именно на это рассчитывал бы я сам. Поскольку, в отличие от вас, я не верю в гаруспицию. Я считаю, что внутренности овцы ничего не знают о гриппе, а когда данные совпадают, это просто дело случая. Иначе говоря, во всем, касающемся гадания на внутренностях животных, я сторонник нулевой гипотезы. Поэтому в моем мире успешное завершение любого эксперимента с гаруспицией весьма маловероятно.
Насколько маловероятно? Стандартный порог статистической значимости, а значит, и критерий для публикации статьи в «Международном журнале гаруспиции» по соглашению установлен в виде p-значения, равного 0,05, или 1 из 20. Вспомните определение p-значения, которое состоит в том, что, если нулевая гипотеза истинна в случае определенного эксперимента, вероятность того, что этот эксперимент все-таки приведет к получению статистически значимого результата, составляет всего 1 из 20. Если нулевая гипотеза всегда истинна (другими словами, если гаруспиция – это надувательство в чистом виде), тогда результаты только одного из двадцати экспериментов могут быть опубликованными.
Тем не менее существуют сотни гаруспиков и тысячи овец со вспоротыми животами; при этом даже одна двадцатая предсказаний дает достаточно материала для заполнения каждого выпуска журнала новыми результатами, демонстрирующими эффективность этой методики и мудрость богов. Протокол эксперимента, который в одном случае сработал и публикуется в журнале, как правило, не дает нужных результатов, когда его пытается применить другой гаруспик. Однако материалы о проведении экспериментов, не обеспечивших статистически значимые результаты, не публикуются, поэтому никто так и не узнает о неудачных попытках воспроизвести этот эксперимент. И даже если начинают распространяться слухи, всегда есть мелкие различия, на которые могут указать эксперты, чтобы объяснить, почему последующие исследования завершились неудачей. В конце концов, мы ведь знаем, что протокол работает, поскольку проверили его и определили, что он обеспечивает статистически значимые результаты!
Современная медицина и социология – отнюдь не гаруспиция. Тем не менее в последние годы многие ученые все громче бьют тревогу: возможно, в науке гораздо больше данных, полученных в духе гадания на внутренностях животных, чем нам хотелось бы признавать.
Громче всех заявил об этом Джон Иоаннидис; в средней школе, в Греции, он блистал как математик, но впоследствии занялся медико-биологическими исследованиями. В 2005 году Иоаннидис опубликовал статью Why Most Published Research Findings Are False («Почему большинство публикуемых открытий оказываются ошибочными»)
{121}, вызвавшую в медицинской среде волну жесткой самокритики, а затем вторую волну самозащиты. Мы знаем работы, привлекающие к себе внимание скорее своими сенсационными заголовками, а не собственно содержанием, – но только не в данном случае. Иоаннидис весьма серьезно подходит к идее о том, что целые области медицинских исследований относятся к категории «нулевых областей» (такие как гаруспиция), в которых просто нет фактического воздействия, поддающегося обнаружению. «Можно доказать, что выводы самых востребованных исследований являются ошибочными», – пишет Иоаннидис.
