Итак, напомним: мы сформулировали правило, которое позволяет зарисовать множество циферблатов, представляющих состояние частицы в некий момент времени. Правило довольно странное: мы наполняем Вселенную бесконечным количеством циферблатов, которые все оказываются связанными друг с другом отношениями, зависящими от тоже довольно странной, но имеющей большое историческое значение величины – действия. Если два или более циферблата оказываются в одном положении в одно и то же время, они суммируются. Правило основано на том, что мы должны предоставить частице свободу перепрыгнуть из любого конкретного места во Вселенной в любое другое место за бесконечно малое время. Мы сразу же сказали: такие абсурдные на вид идеи должны подвергнуться проверке путем столкновения с природой, чтобы убедиться, что получается что-то разумное. Для начала рассмотрим, как из этой кажущейся анархии возникает нечто очень конкретное. Это один из краеугольных камней квантовой теории – принцип неопределенности Гейзенберга.
Принцип неопределенности Гейзенберга
Принцип неопределенности Гейзенберга – одна из самых неправильно понимаемых частей квантовой теории, тропинка, по которой всякие шарлатаны и поставщики вздора проталкивают свою философскую ерунду. Гейзенберг представил эту концепцию в 1927 году в работе под названием Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik
[10], которое с трудом поддается переводу. Самое трудное слово – anschaulich, которое значит то ли «физический», то ли «интуитивный».
Гейзенбергом, возможно, двигало внутреннее раздражение по поводу того, что интуитивно более понятная версия квантовой теории, предложенная Шрёдингером, была принята шире, чем его собственная, несмотря на то что оба метода вели к одинаковым результатам. Весной 1926 года Шрёдингер был уверен, что его уравнение для волновой функции дает физическую картину происходящего внутри атомов. Он считал, что волновую функцию можно визуализировать и что она связана с распространением электрического заряда внутри атома. Это все оказалось неверным, но, по крайней мере, позволило физикам уверенно чувствовать себя всю первую половину 1926 года, пока Борн не предложил вероятностную интерпретацию.
Гейзенберг, с другой стороны, построил свою теорию на абстрактной математике, которая чрезвычайно успешно предсказывала результаты экспериментов, но не подлежала четкой физической интерпретации. Он изложил свое раздражение Паули в письме от 8 июня 1926 года – за несколько недель до того, как Борн метнул свой метафорический гаечный ключ в сторону интуитивного подхода Шрёдингера: «Чем больше я думаю о физической стороне теории Шрёдингера, тем более отвратительной она мне кажется. Там, где Шрёдингер пишет об Anschaulichkeit (наглядности) своей теории… я читаю Mist». Немецкое слово mist переводится как «вздор», «дерьмо»… или «ерунда».
Гейзенберг решил выяснить, что же должно пониматься под «интуитивной картиной», или Anschaulichkeit, физической теории. Что, спросил он себя, квантовая теория должна говорить о таких уже известных свойствах частиц, как их положение? В духе своей оригинальной гипотезы он предположил, что имеет смысл вести речь о положении частицы, только если указать при этом, как его измерять. Поэтому нельзя задавать вопрос, действительно ли электрон находится внутри атома водорода, не описав, каким, собственно, образом вы собираетесь получить информацию об этом. Кажется, это похоже на семантику, но нет. Гейзенберг заметил, что сам процесс измерения порой вносит возмущение, результатом которого становятся ограничения на пути того, что мы можем «знать» об электроне. В своей оригинальной работе Гейзенберг сумел оценить отношения между точностью измерения положения и импульса частицы. В знаменитом принципе неопределенности он утверждает, что если Δx – это неопределенность наших знаний о положении частицы (греческая буква Δ произносится «дельта», так что Δx произносится «дельта икс»), а Δp – соответствующая неопределенность импульса, то
где h – постоянная Планка, а символ ~ значит «примерно равен». Иными словами, произведение неопределенности положения частицы на неопределенность ее импульса будет приблизительно равно постоянной Планка. Это значит, что чем более точно мы определяем положение частицы, тем меньше можем знать о ее импульсе, и наоборот. Гейзенберг пришел к этому выводу, рассматривая отрыв фотонов от электронов. Фотоны – это средство, благодаря которому мы «видим» электрон, как и все остальные объекты: фотоны отрываются от них и собираются перед нашими глазами. Обычно свет, испускаемый объектом, вызывает в самом объекте лишь незначительные возмущения, но это не отменяет нашей фундаментальной неспособности полностью отделить процесс измерения от измеряемого предмета. Логично предположить, что можно миновать ограничения принципа неопределенности, если придумать достаточно хитроумный эксперимент. Сейчас мы покажем, что это не так, и принцип неопределенности носит фундаментальный характер: мы выведем его исключительно из нашей теории циферблатов.
Вывод принципа неопределенности Гейзенберга из теории циферблатов
Вместо того чтобы начать с частицы в определенной точке, подумаем лучше о ситуации, когда мы лишь примерно знаем, где находится частица, но точное ее местоположение неизвестно. Если она где-то в небольшой области пространства, нужно представить ее в виде ряда циферблатов, занимающих всю эту область. В каждой его точке будет находиться по циферблату, и эти циферблаты отразят вероятность, с которой частицу можно найти в этой точке. Если мы возведем в квадрат длины всех стрелок этих циферблатов в каждой точке и сложим, то получим 1, то есть вероятность найти частицу где-то в этой области равна 100 %.
Через некоторое время мы воспользуемся собственными квантовыми правилами для серьезных вычислений, но сначала вынуждены признаться, что забыли упомянуть важное дополнение к правилу поворота стрелок. Мы не хотели вводить его раньше, потому что это чисто техническая деталь, но, если игнорировать ее при вычислении реальных вероятностей, правильных ответов не получим. Относится эта деталь к тому, что написано в конце предыдущего абзаца.
Если начать с одиночного циферблата, стрелка должна иметь длину 1, потому что частица должна находиться в месте расположения циферблата со 100 %-ной вероятностью. Наше квантовое правило гласит: чтобы описать положение частицы в какой-то момент будущего, мы должны переместить циферблат во все точки Вселенной, соответственно тому, как частица может прыгнуть из своего текущего местоположения. Естественно, мы не в силах сделать так, чтобы все стрелки циферблатов имели длину 1, потому что тогда вся интерпретация вероятности рушится. Представьте, например, что частица описывается четырьмя циферблатами, так как находится в четырех разных местах. Если стрелка каждого циферблата имеет длину 1, то вероятность того, что частица находится в любой из четырех позиций, будет равняться 400 % – очевидно, что это нонсенс. Чтобы решить эту проблему, мы должны уменьшать циферблаты, а не только двигать их против часовой стрелки. Это «правило уменьшения» гласит, что после того, как все новые циферблаты будут порождены, каждый из них должен быть разделен на квадратный корень из общего количества часов
[11]. Для четырех часов это значит, что каждую стрелку нужно разделить на √4, то есть стрелка каждого циферблата будет иметь длину ½. Отсюда следует: вероятность того, что частица будет найдена на месте любого из четырех циферблатов, равна (½)2 = 25 %. Таким простым способом мы можем убедиться, что вероятность нахождения частицы где-либо всегда будет 100 %-ной.
