Подумаем над этой связью, что очень пригодится нам позднее, когда мы будем рассматривать дополнительные измерения. Для этого представив себе водопровод, вода из которого может быть направлена через шланг или через разбрызгиватель. Предположим, что через шланг и через разбрызгиватель протекает одинаковое количество воды и этой водой нужно полить определенный цветок в саду (рис. 20). Когда вода идет по шлангу, направленному на цветок, этот цветок получит всю воду. Расстояние от начала шланга до насадки, направленной на цветок, несущественно, так как вся вода должна в конце концов дойти до цветка независимо от того, насколько далеко находится шланг.
Теперь представим, что то же количество воды пропускается через разбрызгиватель, который одновременно поливает много цветков. Иначе говоря, разбрызгиватель подает воду по окружности, так что она попадает на все цветки, находящиеся на определенном расстоянии. Так как теперь вода распределяется среди всего, что есть на данном расстоянии, выбранный цветок будет получать не всю воду. Более того, чем дальше цветок от источника, тем больше растений будет поливать разбрызгиватель, и вода будет распределена по большей территории (рис. 21). Это произойдет потому, что вы можете полить больше растений на окружности длиной в три метра, чем на окружности длиной в один метр. Поскольку вода разбрызгивается шире, более далекий цветок получает меньше воды.
Аналогично, все, что равномерно распределяется более чем в одном направлении, будет оказывать меньшее влияние на любую конкретную вещь, находящуюся на большем расстоянии, будь это цветок или, как мы вскоре увидим, тело, на которое действует сила тяготения. Гравитация, как вода, чем дальше, тем шире распределяется.
Этот пример позволяет также увидеть, почему распределение так сильно зависит от числа измерений, в которых распространяется вода (или тяготение).
Вода из двумерного разбрызгивателя рассеивается с увеличением расстояния, в отличие от воды из одномерного шланга, которая вообще не рассеивается. Представьте теперь разбрызгиватель, распределяющий воду по поверхности сферы, а не только по окружности. (Такой разбрызгиватель напоминал бы нечто вроде созревшего одуванчика.) В этом случае вода будет рассеиваться с расстоянием значительно быстрее.
Применим эти рассуждения к тяготению и выведем точную зависимость от расстояния силы тяготения в трех измерениях. Закон тяготения Ньютона вытекает из двух следующих фактов: тяготение действует одинаково по всем направлениям, а пространство трехмерно. Представим планету, притягивающую любую находящуюся поблизости массу. Так как сила тяготения одинакова по всем направлениям, интенсивность гравитационного притяжения, оказываемого планетой на другое массивное тело, например луну, будет зависеть не от направления, а от расстояния между телами.
Чтобы графически изобразить интенсивность гравитационной силы, слева на рис. 22 показаны радиальные линии, выходящие наружу из центра планеты и напоминающие струи воды, летящие из разбрызгивателя. Плотность этих линий определяет интенсивность гравитационного притяжения, оказываемого планетой на все, что ее окружает. Если тело пронизывает большее количество силовых линий, это будет означать большее гравитационное притяжение, меньшее количество силовых линий будет означать меньшее гравитационное притяжение.
Заметим, что сферическую оболочку, нарисованную на любом расстоянии независимо от того, далеко она или близко от центра, пересекает одно и то же число силовых линий (центральный и правый рисунки на рис. 22). Число силовых линий никогда не меняется. Но так как силовые линии распределены по всем точкам поверхности сферы, сила на большем расстоянии неизбежно меньше. Точный коэффициент ослабления определяется количественной мерой того, насколько широко расставлены силовые линии на любом заданном расстоянии.
На любом расстоянии от массы через сферическую поверхность проходит фиксированное число силовых линий. Площадь этой сферической поверхности пропорциональна квадрату ее радиуса, т. е. равна некоторому числу, умноженному на квадрат радиуса. Так как по поверхности сферы распределено фиксированное число гравитационных силовых линий, сила тяготения должна уменьшаться обратно пропорционально квадрату радиуса. Это распределение гравитационного поля и есть причина закона обратных квадратов для тяготения.
Закон Ньютона в случае компактных измерений
Итак, теперь мы знаем, что в трех измерениях тяготение должно подчиняться закону обратных квадратов. Обратим внимание, что доказательство, как кажется, критически зависит от того факта, что существуют три пространственных измерения. Если бы было только два измерения, тяготение распространялось бы только по окружности, и сила тяготения уменьшалась бы не так сильно с расстоянием. Если число измерений было бы больше трех, площадь поверхности гиперсферы росла бы значительно быстрее с ростом расстояния между планетой и ее луной, так что сила убывала бы значительно быстрее. Похоже, что только три пространственных измерения приводят к зависимости от расстояния в виде закона обратных квадратов. Но если это так, как могут теории с дополнительными измерениями требовать выполнения ньютоновского закона обратных квадратов для тяготения?
Очень интересно видеть, каким образом компактифицированные измерения разрешают этот потенциальный конфликт. Суть рассуждений состоит в том, что силовые линии не могут распространяться на произвольное расстояние по компактным измерениям, так как они имеют конечный размер. Хотя силовые линии изначально расходятся по всем измерениям, после того, как они выйдут за пределы размеров дополнительных измерений, им не останется ничего иного, кроме как распространяться в направлениях бесконечных измерений.
Это опять может быть проиллюстрировано примером со шлангом. Представьте, что вода поступает в шланг через маленький прокол в крышке, прикрывающей конец шланга (рис. 23). Устремившаяся через прокол вода не сразу потечет вдоль по шлангу, а сначала распределится по всему сечению трубки. Тем не менее, поливая наш цветок из другого конца шланга, мы ясно понимаем, что способ, каким вода поступает в шланг, не имеет для нас никакого значения. Хотя вода и распределится вначале по более чем одному направлению, она быстро достигнет внутренней поверхности шланга и потечет далее так, как будто существует только одно направление. По существу, именно это происходит с гравитационными силовыми линиями в малых компактифицированных измерениях.
