Решение этой строго научной задачи такое: постепенно моряк будет все дальше удаляться от начального пункта, хотя и значительно медленнее, чем если бы он двигался только в одну сторону. Это можно показать достаточно простым способом.
Нам нужно выразить расстояние S N от нулевой точки до местоположения моряка после N его блужданий от одного фонаря до другого, если известно среднее расстояние между столбами λ. (Отметим сразу, что для молекулы величина S соответствует диффузионному смещению – расстоянию, на которое продвинутся пары йода в воздухе или окрашенные ионы в воде; величина λ соответствует среднему свободному пробегу молекулы – расстоянию, которое она пролетает в свободном полете от одного столкновения до другого; величина N соответствует числу столкновений за определенное время – время, за которое диффузия прошла на расстояние S .)
А теперь немного простой математики. Дойдя до первого фонаря, моряк пройдет расстояние S 1 = ±λ: + λ, если он пошел вправо, и – λ, если пошел влево от точки 0. Но нам не важно, в какую сторону пошел моряк, а важно только, какое расстояние он прошел. Чтобы избавиться от знаков, возведем обе части этого равенства в квадрат: S 12 = λ2.
Пусть теперь, совершив N – 1 таких блужданий, моряк оказался на расстоянии S N –1 от начала. Пройдя до следующего фонаря, он очутится либо дальше, либо ближе к точке 0, т. е. S N = SN –1± λ.
Избавляемся от неопределенности в знаках таким способом. Возводим обе части равенства в квадрат: ( S N )2 = ( S N –1)2 ± 2λ S N –1 + λ2. Теперь представим себе, что моряк много раз совершил единичное блуждание от точки S N –1 к точке S N . В половине случаев, когда точка S N расположена дальше, чем точка S N –1, мы получим ( S N )2 = ( S N –1)2 + 2λ S N –1 + λ2, а в половине случаев, когда точка S N расположена ближе к началу, чем точка S N –1, мы получим ( S N )2 = = ( S N –1)2 – 2λ S N + λ2. Таким образом, плюсы и минусы взаимно сократятся, и в среднем квадрат удаления после N -го блуждания будет равен ( S N )2 = ( S N –1)2 + λ2.
Исходя из этой формулы и учитывая, что S 12 = λ2, получаем, что S 22 = S 12 + λ2 = 2λ2 (квадрат предыдущего значения плюс λ2), S 32 = = 3λ2 и т. д. То есть квадрат смещения после N -го блуждания ( S N )2 = N λ2 или
.
Вот мы и получили основную формулу для процесса случайных блужданий. Из нее следует, например, что трезвый моряк, идущий все время в одном направлении, пройдя N = 100 столбов, расстояние между которыми λ = 20 м, удалится от точки 0 на 2000 м = 2 км. Подвыпивший же моряк удалится от начала всего на
. Но все же в какую-нибудь сторону удалится!
Другой пример. Многие, возможно, замечали, что шнур от телефонной трубки часто очень сильно закручен в одну сторону. Причина может быть та же: если много раз снимать трубку, а потом класть ее на рычаг, случайно повернув то в одну сторону, то в другую, то в конце концов трубка окажется много раз повернутой в какую-нибудь одну сторону, и для распрямления провода его придется раскручивать.
Теория случайных блужданий имеет и более важное практическое приложение. Говорят, что без компаса и в отсутствие ориентиров (солнце, звезды, шум шоссе или железной дороги и т. п.) человек бродит в лесу, по полю в буране или в густом тумане кругами, все время возвращаясь на прежнее место. На самом деле он ходит не кругами, а примерно так, как движутся молекулы или броуновские частицы. На исходную точку он вернуться может, но только случайно. А вот свой путь он пересекает много раз – как броуновская частица на рисунке. Рассказывают также, что замерзших в пургу людей находили «в каком-нибудь километре» от ближайшего жилья или дороги. Однако на самом деле у человека не было никаких шансов пройти этот километр, и вот почему.
Чтобы рассчитать, насколько сместится человек в результате случайных блужданий, надо знать ту самую величину λ; в данном случае это расстояние, которое человек может пройти по прямой, не имея никаких ориентиров. Эту величину с помощью студентов измерил профессор математики Московского государственного университета инженерной экологии Б. С. Горобец. Он, конечно, не оставлял их одних в дремучем лесу или на заснеженном поле, все было проще: студента ставили в центре пустого стадиона, завязывали ему глаза и просили в полной тишине (чтобы исключить ориентирование по звукам) пройти до конца футбольного поля. Оказалось, что в среднем студент проходил по прямой всего лишь около 20 м (когда отклонение от прямой не превышало 5°), а потом начинал все более отклоняться от первоначального направления. В конце концов он останавливался, далеко не дойдя до края.
Пусть теперь человек идет (вернее, блуждает) в лесу со скоростью 2 км/ч (для дороги это очень медленно, но для густого леса – очень быстро!), тогда если величина λ равна 20 м, то за час он пройдет 2 км, но сместится всего лишь на 200 м, за два часа – примерно на 280 м, за три часа – 350 м, за 4 часа – 400 м и т. д. А двигаясь по прямой с такой скоростью, человек за 4 часа прошел бы 8 км и, скорее всего, вышел бы если не к жилью, то к дороге, просеке, речке, высоковольтной линии. Поэтому в инструкциях по технике безопасности полевых работ есть такое правило: если ориентиры потеряны (сплошная облачность, не слышно шума шоссе или железной дороги), надо оставаться на месте, обустраивать убежище и ждать окончания ненастья (может выглянуть солнце) или помощи. В лесу же двигаться по прямой помогут ориентиры – деревья или кусты, причем каждый раз надо держаться двух таких ориентиров – одного спереди, другого сзади. Но, конечно, лучше всего брать с собой компас…
Вернемся теперь к молекулярной диффузии. Итак, молекула йода хаотично мечется между огромным количеством мешающих ей молекул воздуха, постепенно смещаясь все дальше – в соответствии с выведенной формулой. Скорость движения молекулы I2 при комнатной температуре равна, как мы помним, 170 м/с. В отсутствие столкновений (например, в глубоком вакууме космического пространства) эта молекула, двигаясь по прямой в одном направлении, прошла бы за время t расстояние L = ut . Это же расстояние можно получить, сложив все отрезки между столкновениями: L = λ N . Таким образом, ut = λ N . В случае же диффузии, при частых столкновениях, молекула сместится на значительно меньшее расстояние: S = λ√ N . Исключив из этих двух формул не очень интересное для нас значение N (ведь оно зависит от времени диффузии), получим очень важную формулу: S 2 = u λ t , или λ = = S 2/ ut . А частота столкновений равна Z = N / t = u /λ = u 2 t / S 2.
