«Почему взлетает шарик, наполненный гелием?»
Статью под таким названием опубликовал уже упоминавшийся профессор химии Раметте. Он рассказал интересную историю о споре, который случился у него с коллегой, преподавателем физики. Как-то этот физик спросил его, как пишет Раметте, «со своей обычной вредной улыбочкой» о том, понимает ли химик молекулярно-кинетическую теорию газов. Дальше между ними произошёл примерно такой диалог (в вольном пересказе и с комментариями химика).
– Раз вы понимаете основы теории, представьте себе полностью изолированную комнату. Будет ли воздух в ней гомогенным, то есть полностью однородным, а движения молекул хаотичными?
– Конечно, это известно всякому, кто слышал о молекулярно-кинетической теории газов. Я имею в виду «гомогенный на макроуровне» (с этим типом надо быть настороже!).
– О’кей, тогда почему шарик, надутый гелием, взлетит в этой комнате к потолку?
– Я подозреваю, что вы к чему-то клоните (недаром у него такая самодовольная улыбка, но я не поддамся). По закону Архимеда тело (а у нас это шарик с гелием), погруженное в жидкость (а у нас – в воздух), выталкивается с силой, равной весу вытесненной жидкости (воздуха). Гелий в шарике весит меньше, чем вытесненный воздух. Вот и все.
– Нет, не все! (Ишь, как уставился!) Это просто наблюдение, но вовсе не объяснение. То есть я хочу спросить, почему закон Архимеда «работает». Как объяснить на молекулярном уровне, почему шарик летит вверх? Или, если на то пошло, почему лодка плавает? Что за сила толкает шарик вверх? Думайте! (Наверное, он заметил мое замешательство и решил таким способом «подбодрить».)
– Ах, вот вы о чем! Ну это элементарно: причина в ударах молекул воздуха о шарик. Каждый такой удар передает шарику крошечный импульс, а так как таких ударов – мириады каждую секунду, они и толкают шарик вверх.
– Хм-м, но ведь вы только что сказали, что молекулы движутся совершенно хаотично, а воздух гомогенный! Так разве частота ударов по шарику сверху и снизу не будет одинакова? В таком случае шарик не должен взлетать, а будет просто свободно парить в воздухе! (Вот злорадствует!) Именно так ведь с ним и будет на космической станции, где нет силы тяжести.
– Ну уж здесь вы не правы: ведь и на орбите земное притяжение никуда не исчезло, просто и сама станция, и все, что в ней, находятся в состоянии свободного падения, поэтому только кажется, что там нет силы тяжести. (Итак, счет один-один!).
– Правильное замечание. (А чего покраснел-то?) Ну а дальше что?
– Я думаю, что знаю, в чем дело. Во-первых, нельзя говорить, что воздух полностью гомогенен. Из-за притяжения Земли молекулы воздуха притягиваются вниз.
– Ха-ха, тогда шарик должен испытывать больше ударов сверху, чем снизу, тогда почему же он взлетает, а не опускается на пол? М-да, чтобы выиграть время, извинюсь, что мне надо срочно отлучиться на минутку, а сам подумаю. Ну вот, теперь можно и вернуться к столику.
– Решение такое. Из-за гравитации воздух внизу более плотный, поэтому концентрация молекул воздуха больше у нижней части шарика, чем у верхней. Поэтому и частота ударов о шарик снизу больше, чем сверху.
– Мои поздравления! Вы первый из тех, кому я задавал этот вопрос и кто в конце концов пришел к правильному выводу. (Ну «в конце концов» он мог бы и не говорить… Ничего, сейчас он у меня попляшет, потому что я тоже придумал и для него задачку.)
– Спасибо, коллега, но есть один вопросик. Разве все эти рассуждения о градиенте плотности не применимы также и к гелию в шарике? А значит, молекулы гелия тоже ударяют о нижнюю часть шарика чаще, чем о верхнюю, только изнутри! Значит, эти удары должны уравновешивать внешние, со стороны молекул воздуха. (Ага, вот он и занервничал, и похоже, что сказать-то ему нечего.)
– Ого, посмотрите на часы: мы так заболтались, а я опаздываю на занятия! В то же время завтра? Химик, кстати, тоже был рад передышке, поскольку у него самого не было ответа на поставленный вопрос. Вечером он просмотрел статьи, опубликованные в популярных журналах. Нашел статью о сравнении подъемной силы гелия и водорода, но в ней не было ничего для него нового. Тогда он в Интер нете в поисковой системе набрал atmospheric pressure equation, на что получил 76 200 ссылок. Четвертая из них привела его к статье Карла Нейва, преподавателя факультета астрономии и физики университета штата Джорджия: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ kinetic/barfor.html На этом сайте Раметте нашел известную баромерическую формулу, из которой можно приближенно рассчитать, как изменяется давление воздуха с высотой, если температуру на любой высоте принять равной 0 °С: Р = Р оexp(– h /8), где h – высота в километрах. При точных расчетах зависимости давления от высоты следует учитывать понижение температуры воздуха с высотой в тропосфере (далее температура вновь растет). Атмосферное давление зависит также от места измерения, температуры воздуха и погоды. Приведём зависимость среднегодового давления (в привычных миллиметрах ртутного столба) от высоты:
Если, например, в Москве давление в какой-то день равно 745 мм рт. ст. (обычное для города давление), то в верхних этажах высотного здания оно будет на 20 мм ниже, на верхушке Останкинской телебашни оно снизится уже на 45 мм. Те, кто живет в горной местности, постоянно находятся в области пониженного давления. Так, в Алма-Ате давление всегда понижено на 60–70 мм, а в Мехико – на 180 мм! Последнее особенно чувствовали спортсмены, когда в 1968 г. в этом городе проводились Олимпийские игры.
Но вернемся к статье Раметте и шарику с гелием. Средняя молекулярная масса воздуха М = 29, и если диаметр шарика 25 см, то отношение атмосферного давления в верхней и нижней точке P / P o = 0,999971. Именно эта ничтожная разница (всего 0,022 мм, что не фиксируется обычным барометром) и приводит к выталкивающей силе, достаточной, чтобы поднять легкий шарик (по расчетам Раметте, эта сила равна в данном случае 14 г). Гелий намного легче воздуха ( М = 4), и для него внутри шарика P / P o = 0,999996. Так что разность в давлении внутри шарика меньше, чем снаружи. Соответственно меньше и разность в числе ударов молекул гелия и воздуха о верхнюю и нижнюю часть шарика.
Удовлетворенный химик с трудом дождался следующего дня, чтобы посрамить физика. Каково же было его разочарование, когда тот первым делом сказал: «Я тут немного подумал и пришел к простому выводу: так как молекулярная масса гелия намного меньше, чем средняя для воздуха, градиентом плотности гелия в шарике можно пренебречь». Более того, физик не искал барометрическую формулу в учебниках или в Интернете, а сам ее вывел! Перед тем как разойтись, физик все же взял свое в свойственной ему манере:
– Ну хорошо, вы разобрались с шариком, из чего следует, что проблема эта легкая. А теперь подумайте над такой. Вы привязываете шарик с тяжелым углекислым газом к потолку своего автомобиля, так что он свисает сверху до середины салона. А шарик с гелием вы привязываете к сиденью, и он тоже витает в центре автомобиля, но привязан снизу. Когда вы резко берете с места, ваше тело по инерции вдавливается в кресло. А что будет с двумя шариками? И что будет с ними при резком торможении?
