Так раб узнал, что при удвоении длины сторон квадрата его площадь увеличивается в четыре раза. Потом Сократ продолжил игру в вопросы и ответы. По ходу дела, отвечая на основе уже усвоенных знаний, раб формулировал интуитивные догадки о принципах геометрии. Он учился на своих ошибках и исправлял их.
Ближе к концу диалога Сократ начертил на песке новый квадрат, каждая сторона которого была диагональю первого.
Теперь раб ясно увидел, что новый квадрат состоит из четырех треугольников, а первый – только из двух.
«Ты согласен, что это сторона квадрата с площадью вдвое больше первого?» – спросил Сократ.
Раб ответил утвердительно и сформулировал основу теоремы Пифагора о квадратичной связи между сторонами и диагональю. Всего лишь отвечая на вопросы, он в общих чертах понял одну из наиболее известных в западной культуре теорем.
«Что ты думаешь, Менон? – спросил Сократ. – Раб высказывал мнения, которые не принадлежат ему самому?»
«Нет», – ответил Менон.
Психолог и просветитель Антонио Баттро понял, что этот диалог заложил основу беспрецедентного эксперимента об интуитивных догадках, которые существуют столетия и тысячелетия. Я провел такой эксперимент вместе с моей студенткой, биологом Андреа Голдин. Мы задавали вопросы Сократа детям, подросткам и взрослым, и их ответы были почти идентичными спустя 2500 лет после первоначального эксперимента. Мы очень похожи на древних греков
[74]; мы правильно делаем одни и те же вещи и совершаем такие же ошибки. Это говорит о существовании линий мышления, которые укоренены так глубоко, что они почти без изменений путешествуют во времени через разные культуры.
Не имеет значения, происходил ли диалог Сократа с рабом на самом деле. Вероятно, это лишь умозрительная конструкция самого Сократа или Платона. Однако мы доказали, что в наше время может происходить точно такой же диалог. Встречаясь с подобными вопросами, люди реагируют так же, как раб, который жил за тысячи лет до них.
Цель моего эксперимента заключалась в исследовании истории человеческого мышления и проверке гипотезы, согласно которой простые математические догадки, высказанные в Афинах в V веке до нашей эры, совпадают с догадками учеников XXI века из Южной Америки и других регионов мира.
Андреа руководствовалась другой целью. Она хотела понять, каким образом наука может улучшить процесс образования (ее мотивация передалась и мне в ходе совместной работы). Это привело ее к совершенно другим вопросам. Был ли диалог на самом деле таким эффективным? Можно ли считать ответы на вопросы хорошей формой обучения?
Иллюзия открытия
Андреа предложила после окончания диалога показывать ученикам новый квадрат другого цвета и другого размера и предлагать им нарисовать еще один квадрат вдвое большей площади. Мне казалось, что задача слишком простая, и я предложил усложнить ее. Могут ли ученики распространить правило на новые формы, например, на треугольники? Могут ли они нарисовать квадрат, площадь которого будет вдвое меньше (а не больше) первоначального квадрата?
К счастью, Андреа настояла на своем. Как она и предполагала, около половины участников не справились с упрощенным заданием. Они не смогли воспроизвести то, что казалось уже усвоенным знанием. Что же произошло?
Первый ключ к разгадке уже появлялся в этой книге; во многих случаях наш мозг обладает информацией, которую он не может выразить или продемонстрировать явным образом. Это все равно что слово, которое вертится на кончике языка. Поэтому возможно, что информация уже была приобретена в ходе диалога, но не таким образом, чтобы ее можно было высказать и использовать.
Понять этот механизм можно с помощью примера из повседневной жизни. Допустим, кого-то время от времени подвозят по пути в одно и то же место. Однажды этому человеку приходится сесть за руль и самому проехать по маршруту, по которому его возили уже сто раз… но оказывается, что он не знает, куда ехать. Дело не в том, что раньше он был невнимательным или не смотрел на дорогу. Процесс закрепления знаний нуждается в практике. Этот аргумент занимает центральное место в проблеме образования: одно дело усвоить знания как есть, но совсем другое – применить их на практике. Второй пример – обучение техническим навыкам, вроде игры на гитаре. Мы наблюдаем за учителем и ясно видим, как он ставит пальцы, чтобы извлечь аккорд, но когда наступает наша очередь, мы не можем сделать то же самое.
Анализ сократовского диалога показывает, что для усвоения понятий необходима такая же обширная практика, как и для процедурного обучения (чтения, игры на инструменте, управления автомобилем). Но есть и важное отличие. Обучаясь играть на музыкальном инструменте, мы сразу понимаем: одного наблюдения недостаточно. А вот при усвоении понятий и учитель, и ученик полагают, что можно без труда принять хорошо сформулированный аргумент. Это иллюзия. Для обучения понятиям необходима кропотливая практика, как и при обучении машинописи.
При дальнейшем изучения диалога Сократа и Менона обнаружилась педагогическая катастрофа. Процесс обучения по Сократу выглядит очень приятным для учителя. Ответы учеников кажутся очень удачными. Но во время экзамена результаты далеко не всегда оказываются удовлетворительными. Моя гипотеза состоит в том, что образовательный процесс иногда дает сбой по двум причинам: отсутствие практики в использовании приобретенных знаний, и фокус внимания, который должен быть направлен не на мелкие и известные факты, а на возможность их сочетать ради нового понимания. Мы уже обозначили первый аргумент и подробно изучим его на следующих страницах. Краткое изложение второго можно найти в педагогической практике.
Помимо демографических, экономических и социальных факторов, имеющих важное значение, есть страны, в которых обучение математике работает лучше, чем в других. К примеру, в Китае ученики усваивают больше ожидаемого (на основании ВВП и других социально-экономических переменных), а в США – меньше. Как объяснить эту разницу?
В США во время решения сложных примеров на умножение, например 173×75, учителя обычно спрашивают у детей уже известные вещи: «Сколько будет 5×3?» И все хором отвечают: «Пятнадцать». Это приятно, потому что ученики знают правильный ответ. Но ловушка заключается в том, что детей не учат порядку действий. Почему надо начинать с 5×3 и переходить к 5×7, а не наоборот? Как следует сочетать фрагменты информации и разработать план для пошагового решения проблемы 173×75?
Ту же ошибку мы находим в диалоге Сократа. Раб Менона не смог бы начертить диагональ своей рукой. Секрет решения проблемы не в осознании того, как подсчитать треугольники, когда диагональ уже проведена. Ученик должен сам прийти к идее, что для решения проблемы нужно думать о диагонали. Педагогическая ошибка заключается в том, что внимание ученика привлекается к фрагментам уже решенной задачи.
