Важнейший вклад Евклидовых «Начал» сводился к передовому логическому методу: во-первых, Евклид объяснил все термины введением точных определений, гарантирующих понимание всех слов и символов. Во-вторых, он прояснил все понятия, предложив для этого прозрачные аксиомы или постулаты (эти два термина взаимозаменяемы), и отказался от применения неустановленных выводов или допущений. И наконец, он выводил логические следствия всей системы лишь с использованием правил логики, примененной к аксиомам и ранее доказанным теоремам.
Вот зануда и привереда, а? Зачем уж так настаивать на доказательстве малейшего утверждения? Математика — вертикальное сооружение, которое, в отличие от архитектурной постройки, рухнет, если хоть один математический кирпичик окажется битым. Допусти в системе невиннейшую погрешность — и пиши пропало, в ней уже ничему нельзя доверять. По сути, теорема логики утверждает:
[50] если в систему вкралась хоть одна ложная теорема — неважно, о чем она, — этого будет достаточно для доказательства, что 1 = 2. Говорят, однажды некий скептик припер к стенке логика Бертрана Расселла, желая возразить против этой уничтожающей теоремы (хотя в итоге говорил об обратном). «Вот что, — рявкнул усомнившийся, — допустим, один равно два, докажите, что вы — Папа Римский». Расселл, по свидетельствам, задумался на миг, после чего ответил: «Папа и я — двое, следовательно, Папа и я — одно».
Доказательство каждого утверждения означает, среди прочего, еще и то, что интуицию, хоть она и ценный поводырь, следует проверять на пороге доказательства. Фраза «это интуитивно понятно» — неподходящий шаг для доказательства. Слишком уж мы падки на всякую очевидность. Представим, что мы разматываем клубок шерсти вдоль экватора Земли, все 25 000 миль. А теперь представим то же самое, но в футе над экватором. Насколько больше ниток нам потребуется для этого? На 500 футов больше? Или на 5000? Упростим задачу. Представим теперь, что раскатываем один клубок вдоль поверхности Солнца, а второй — в футе над его поверхностью. К какому клубку нужно добавить больше ниток — к тому, что мы разматываем в футе от Земли или в футе от Солнца? Большинству из нас интуиция подсказывает «вокруг Солнца», однако ответ на самом деле таков: одинаковое количество, равное 2π футам, т. е. примерно 6 футов 3 дюйма.
Давным-давно была такая телевизионная программа «Поспорим»
[51]. Участника помещали напротив трех подиумов, скрытых занавесами. На одном подиуме находился какой-нибудь ценный объект — автомашина, к примеру, а на двух других — какая-нибудь ерунда, утешительный приз. Допустим, участник выбирал второй подиум. Ведущий затем открывал один из двух оставшихся занавесов, скажем — третий. За ним, положим, находится утешительный приз, следовательно, настоящий приз — либо за первым занавесом, либо за вторым, который участник выбрал изначально. Ведущий далее спрашивает участника, станет ли он менять свой выбор — т. е. выберет ли теперь первый занавес. Вы бы изменили решение? Интуитивно кажется, что вероятность выигрыша — пятьдесят на пятьдесят, хоть так, хоть эдак. Оно было бы так, если бы у нас не было никаких предварительных вводных, но они у нас есть: предыдущий выбор и действия ведущего в этой связи. Внимательный анализ вероятностей, начиная с исходного выбора и далее, или применение нужной формулы, называемой теоремой Байеса (Бейза)
[52], показали бы, что шансов больше, если выбор изменить. Таких примеров в математике — когда интуиция подводит нас, а выручает лишь произвольная формальная логика, — навалом.
Точность — еще одно свойство, необходимое математическому доказательству. Наблюдатель может измерить диагональ квадрата с единичной стороной и получить результат 1,4, а с более точными приборами — 1,41 или даже 1,414, и как бы нам ни хотелось принять подобное приближение как достаточное, оно не даст нам получить эпохальное прозрение: это значение длины — величина иррациональная.
Крошечные количественные изменения могут иметь громадные качественные последствия. Вспомним государственные лотереи. Не теряющие надежду неудачники частенько пожимают плечами и говорят: «Не сыграешь — не выиграешь». Это правда, не поспоришь. Но правда и то, что шансы на выигрыш у тех, кто покупает лотерейный билет, и у тех, кто нет, отличаются на малюсенькую долю процента. Что произойдет, если лотерейная комиссия заявит, что решила округлить ваши шансы на выигрыш с 0,000001 % до нуля? Изменение почти неприметное, но поток наличности от продаж оно изменит еще как.
Фокус Пола Карри
Трюк, изобретенный фокусником-любителем Полом Карри
[53] (см. предыдущую страницу), жившим в Нью-Йорке, — отличный геометрический пример. Возьмем квадратный лист бумаги и нарисуем на нем сетку из меньших квадратов семь на семь. Разрежем лист на пять частей и переложим их так, как показано на рисунке. В результате получим «квадратный пончик» — квадрат того же размера, что и исходный, однако по центру не будет хватать одного квадратика. Куда подевался этот квадратик? Мы что же, доказали теорему о том, что цельный квадрат равен по площади пончику?
Фокус состоит в том, что при пересборке квадрата фрагменты ложатся чуточку внахлест, и фигура в результате получается слегка жульнической — или, скажем так, приблизительной. Второй сверху ряд клеток получается чуть-чуть выше, а весь квадрат — на 1/49 длиннее по вертикали, чем должен быть, и этого как раз достаточно, чтобы набралась площадь недостающего квадратика. Но если бы нам доступно было измерение длин с точностью лишь до 2 %, мы бы не уловили разницу между этими двумя фигурами и впали бы в искушение сделать мистический вывод, что площади квадрата и «квадратного пончика» равны друг другу.
Учтены ли как-то подобные малые расхождения в теориях пространства? Одной из путеводных идей в создании общей теории относительности, гениальной теории об искривлении пространства, послужило Альберту Эйнштейну именно отклонение перигелия Меркурия от классической ньютоновской теории
[54]. Согласно теории Ньютона, планеты движутся по идеальным эллиптическим орбитам. Точка, в которой планета ближе всего к Солнцу, называется перигелием, и, если теория Ньютона верна, планета должна ежегодно проходить строго через эту точку. В 1859 году в Париже Урбен Жан Жозеф Леверье сообщил, что перигелий Меркурия постоянно смещается — самую малость, всего 38 секунд в столетие, что, конечно же, никаких практических последствий не имеет. И тем не менее такое отклонение почему-то происходит. Леверье назвал это «чудовищным затруднением, достойным внимания астрономов». К 1915 году Эйнштейн достаточно развил свою теорию — и вычислил орбиту Меркурия; в эти расчеты обнаруженное отклонение вполне вписалось. По словам биографа Эйнштейна Абрахама Пайса, это открытие стало «высшей точкой его научной жизни. Он был так взбудоражен, что три дня не мог работать». Каким бы малым ни было это отклонение, его объяснение привело к падению классической физики.
