Обратите внимание, мы сейчас рассматриваем только ту половину таблицы, где собраны данные людей с положительными результатами анализов. Это потому, что вопрос, на который мы хотим ответить, предполагает у вас положительные результаты: «Какова вероятность того, что я на самом деле болею, если два раза подряд анализы получились положительными?»
Теперь построим новую таблицу с имеющейся информацией. Как видно из заголовков ячеек, второй анализ может быть положительным или отрицательным, у вас может быть заболевание, а может не быть, но теперь мы рассматриваем не все население в 10 000 человек, а только тех из этого количества, у кого положительные анализы, то есть 201 человека. И теперь в ячейку «Все население» в нижнем правом поле мы записываем 201.
Можно сразу добавить дополнительную информацию, которая встречалась выше. Мы знаем количество человек, среди которых проводим исследование и которые либо болеют, либо нет. Мы добавляем это число в правое поле.
Вернемся к первоначально предоставленным данным: анализ показывает неправильные результаты в 2 % случаев. Один человек действительно болен; в 2 % случаев диагноз неверный, а в 98 % – верный: 2 % от 1 = 0,02. Я округлю этот результат до 0 – это и будет количество человек с ложноотрицательными результатами (заболевание есть, но второй раз его неправильно определили). А 98 % от 1 – очень близко к 1.
Теперь давайте применим тот же показатель ошибок, 2 %, к результатам тех, у кого нет заболевания. 2 % из 200 здоровых людей, чьи анализы окажутся положительными: 2 % от 200 = 4. Остается 196 человек, кого диагностировали правильно; это количество запишем в нижнем левом поле внутри таблицы. Пусть вас не беспокоит, что числа не целые.
Можно заполнить оставшиеся поля, сложив результаты в колонках: для этого нужно суммировать новые получившиеся вероятности.
Как и ранее, мы смотрим на левую колонку, потому что нас интересуют только люди с положительными результатами второго анализа.
Из пятерых людей, сдавших анализы второй раз, болеет только один: 1: 5 = 0,2. Другими словами, болезнь действительно настолько редкая, что, даже если два раза подряд получить положительный результат анализа, все равно 20 %, что вы больны, а 80 % – что нет.
Что же с побочными эффектами? Если начать лечить хлорогидроксиленом всех, кто два раза получил положительный ответ, учитывая, что 20 % получат побочные эффекты, то их получит 1 человек, то есть 20 % от 5. Из каждых пятерых, кому назначат лечение, одному оно поможет (потому что он на самом деле болеет) и у одного будут побочные эффекты. В этом случае, если сдать анализ два раза, у вас в сорок раз повышается вероятность вылечиться, а не получить побочные эффекты. Прекрасные перемены по сравнению с тем, что было раньше.
Чтобы пойти дальше, возьмем байесовскую статистику. Предположим, согласно данным только что опубликованного исследования, если вы – мужчина, шансы заболеть у вас в десять раз выше. Можно построить еще одну таблицу, чтобы учесть эту информацию, а также сделать более точной оценку вероятности того, что у вас на самом деле может быть заболевание.
В реальной жизни вычисление вероятности применяется гораздо шире, чем только для медицинских решений. Я спрашивал Стива Винна, владельца пяти казино (в отелях Bellagio, Wynn и Encore в Лас-Вегасе, и Wynn Palace в Макао): «Вас не беспокоит, хотя бы чуть-чуть, когда посетители выходят с большими мешками ваших денег?»
• Я всегда счастлив, когда люди выигрывают. Именно это и создает азарт в казино.
• Да ладно, правда? Это ваши деньги. Иногда люди забирают миллионы.
• Наверняка вам известно, что, во-первых, мы зарабатываем куда больше денег, чем выплачиваем в случае выигрыша. Во-вторых, обычно средства к нам возвращаются. За все эти годы я ни разу не видел, чтобы человек ушел с большим выигрышем навсегда. Он приходит в казино снова и ставит все полученные деньги, и мы обычно забираем все назад. Причина, по которой они играют, состоит, в первую очередь, в том, что, как и большинству людей, потакающих своим слабостям – таким как гольф или дорогое вино, – игра им нравится больше, чем деньги. Победа дает капитал для игры без необходимости выписывать чек. Люди теряют 100 центов на доллар, а выигрывают 99 центов. Этот 1 % – наша маржа.
Ожидаемая выгода от ставки казино всегда на руку владельцам. Психология игрока заставляет того, кто выиграл большую сумму и мог бы уйти восвояси со всеми деньгами, остаться и проиграть их. Даже если не принимать это в расчет и даже если все забирали бы свои выигрыши, в долгосрочной перспективе это все равно было бы выгодно казино. Именно это приводит нас к тому, что мы дополнительно оформляем долгосрочные гарантии на лазерные принтеры, компьютеры, пылесосы, DVD-плееры и тому подобные вещи. Большие розничные дисконт-магазины заставляют оплачивать гарантии, играя на вашем совершенно разумном нежелании платить большие деньги за ремонт только что купленных вещей. Они обещают «ремонт без забот» по премиальной цене. Однако не надо питать иллюзий: этот сервис говорит совсем не о щедрости продавца, все делается исключительно ради денег: для многих розничных магазинов основная выручка идет не от продажи вам вещи, а от продажи гарантии на ее ремонт.
Такие гарантии, как правило, очень невыгодны для вас и выгодны для продавца. Если и существует десятипроцентная вероятность того, что вы ею воспользуетесь, и это сэкономит вам 300 долларов на ремонт, то ожидаемая выгода составит 30 долларов. Если с вас за нее берут 90 долларов, продавец получит 60 долларов сверх ожидаемой выгоды. Они стараются заманить вас под предлогом «Если вещь сломается, то ремонт будет стоить минимум 200 долларов. Гарантия стоит всего 90 долларов, и вы очень сильно выиграете». Но не ведитесь. Вы выиграете только в том случае, если войдете в те 10 %, кому понадобится эта услуга. При любом другом раскладе выиграют другие. Что касается принятия решений, связанных с медициной, все точно так же. Можно применить расчеты ожидаемой выгоды относительно целесообразности затрат медицинского лечения. Конечно, существует строго математический метод вычислить выгоду, нет ничего сверхъестественного в том, чтобы использовать таблицы сопряженности признаков. Тем не менее многие предпочитают их за то, что это эвристический метод организации информации, и он позволяет легко увидеть все цифры. Это, в свою очередь, помогает найти возможные ошибки. Фактически большая часть советов в этой книге касательно того, как быть организованным, сводится к созданию систем, помогающих нам видеть ошибки, когда мы их делаем, или справляться с ошибками, которые мы все неизбежно совершаем.
