С математической точки зрения высчитывание действий для всех возможных путей и минимизация действия реализуется как набор соотношений, именуемых уравнениями Лагранжа. Они описывают то, как на самом деле движется тело, и в случае с баскетбольным мячом определяют параболическую кривую от рук к кольцу.
Принцип наименьшего действия удивителен тем, что он перестраивает классическую физику на интуитивном базисе. Все во вселенной пытается найти оптимальный путь от старта к финишу, и в этом соревновании побеждают и выживают наиболее выгодные траектории.
Подобно отметкам в школьном дневнике, отражающим плохое или хорошее поведение, действие представляет количественно эффективность каждого пути, выделяя тот, который окажется в данном случае лучшим.
А лучшим оказывается та траектория, которой следует объект в физической реальности.
Возлияния и вдохновение
У Фейнмана было немало озарений по поводу того, как приложить квантовые методы к теории поглощения, но ему приходилось много работать, чтобы создать нужный математический инструментарий. Никакая из существующих техник не могла связать разделенные расстоянием объекты, непосредственно влияющие друг на друга. Чаще и чаще в усталый мозг приходили мысли о том, что нужен всецело новый подход. Ричард понимал, что ему придется начать с нуля и неким образом перестроить квантовую физику, используя принцип наименьшего действия… но как?
На шикарной Палмер-сквер, расположенной через Нассау-стрит от кампуса, располагалось одно из самых известных заведений Принстона, «Нассау Таверн» (сейчас «Нассау Инн»). Сделав перерыв в занятиях, Фейнман решил посетить устроенную там пивную вечеринку. И очень удачно, ведь именно там он встретил человека, который помог ему поставить на место последний кусок квантовой головоломки.
Герберт Йеле, физик из Германии, познакомился с Ричардом на вечеринке и осведомился, над чем тот работает. Йеле только что сбежал из печально известного концлагеря Гюрс во Франции, куда нацисты поместили ученого за пацифизм и антифашистские взгляды. Едва прибыв в США, он сразу отправился в Принстон.
Фейнман рассказал, чем занят, Йеле задумался и вспомнил ключевую статью Дирака «Лагранжиан в квантовой механике»29, опубликованную в 1933 году. Статью не слишком хорошо знали (по меньшей мере, в Америке) в то время, поскольку она появилась не в самом известном журнале Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion.
В этой работе Дирак продемонстрировал, как переход между двумя квантовыми состояниями может быть описан с помощью произведения специальных математических множителей, именуемых «обобщенными преобразующими функциями», которые зависят от действия, связанного с лагранжианом. Вспомним, что лагранжиан определен разницей между кинетической и потенциальной энергией в каждой точке пространства. Эти энергии зависят от динамических переменных (положение и импульс).
Обобщенные преобразующие функции конвертируют действие в факторы, которые при умножении постепенно превращают начальное квантовое состояние в конечное через цепь последовательных этапов. Достижение такого результата соотносится с разрезанием любого квантового процесса на крошечные трансформации, что-то наподобие разделения кинопленки на отдельные снимки.
Хотя этот метод большей частью технический, мы можем проиллюстрировать его ключевую идею с помощью аналогии. Давайте представим квантовый процесс как ряды костяшек домино, и то, как они расставлены на неровной поверхности, определяет квантовое состояние и динамические переменные. И как только динамические переменные запускают обобщенные преобразующие функции, которые постепенно конвертируют квантовые состояния из одного в другое по определенной траектории, мы можем вообразить, что неровность рельефа произведет каскад падающих плашек, опрокидывающих одна другую последовательно по конкретному курсу.
Шансы на то, что каждая костяшка упадет, определенным образом соотносятся с тем, где именно она стоит. Схожим образом динамические переменные квантового состояния в некоей точке во времени устанавливают шансы его «опрокидывания» определенным образом, чтобы сформировать следующее состояние, и так далее, ведя тем самым к ряби квантовых трансформаций от старта к финишу.
Много-много дорог
Фейнман ухватился за предложение Йеле и, вооружившись им, устремился к долгожданной цели. В статье Дирака он увидел, что методы с использованием лагранжиана идеальны для квантования разработанной ими с Уилером теории поглощения. Формулируя гипотезу в терминах принципа наименьшего действия и определяя классическую траекторию как путь наименьшего действия, он мог очертить его как набор квантовых вероятностей.
В нашей аналогии это подобно демонстрации линии, вдоль которой больше всего упавших костяшек – связанной с наиболее вероятным путем из классической физики – окруженной множеством других траекторий, не так загроможденных в силу того, что они менее вероятны. Другими словами, в то время как конкретный ландшафт порождает тенденцию для домино падать определенным образом, формируя наиболее вероятный путь, по которому пойдет процесс, шансы на то, что он отклонится в сторону, тоже есть. Классическая траектория в любом случае является предпочитаемой, но Фейнман придумал как показать, что она не более чем пик на холме квантовых альтернатив. Подобным образом он смог встроить фундаментальную неопределенность квантовой физики в теорию поглощения.
Как понял Фейнман, квантовая неопределенность предписывает то, что взаимодействия не могут быть сведены к одной-единственной траектории, подобное сведение выглядит попыткой пропустить грозовое облако через провод. Квантовые позиции аморфны подобно облакам, и все же иногда бьют молнии, освещая наиболее эффективный путь для прохождения заряда.
Он не единственный, он просто наиболее вероятный.
Схожим образом в пределах «облака» квантового процесса можно идентифицировать оптимальную траекторию. Она является наиболее эффективной – подобно вспышке молнии в грозовой туче – и соответствует классической траектории.
Чтобы избавиться от квантовой непрозрачности, имея дело с любой парой взаимодействующих частиц, Фейнман определил каждую постижимую серию взаимодействий, могущую их связывать. В его расчеты оказались включены не только классическая траектория и другие пути с высокой вероятностью, но и те, что выглядели окольными и невероятными.
Количество возможностей безгранично, и в принципе все казались равнозначными. Но, как в знаменитом рассказе Джорджа Оруэлла «Скотный двор», некоторые были «более равнозначными», чем другие.
Фейнман захотел убедиться, что классическая траектория в конечном итоге всегда оказывается самой вероятной при использовании его теоретического метода, и для этого он взвесил каждую траекторию по ее вероятности, определенной обобщенными преобразующими функциями, которые он нашел в статье Дирака. Для каждой траектории, следуя технике Дирака, он задал динамические переменные для каждого момента времени, рассчитал соответствующие лагранжианы, применил преобразующие функции и перемножил их, чтобы представить цепь событий целиком. Затем, суммируя эти возможности и используя принцип наименьшего действия, он показал, что классический путь становится наиболее вероятным.
