Все мы со школьных лет помним, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат 4 (сторона А) – 16, квадрат 5 (сторона B) – 25. Сумма 16 + 25 равна 41. Таким образом, длина стороны С, то есть гипотенузы, равна квадратному корню из 41.
Не пытайтесь вычислить квадратный корень из 41. Это уже другая проблема – если бы мы продолжали и тут применять школьную геометрию, нам пришлось бы вычислять иррациональный корень из 41. Но в пространстве-времени все устроено иначе, и квадрат гипотенузы (стороны С) не равен сумме квадратов катетов: он равен их разности. Рассматриваемый объект проходит четыре метра в пространстве (сторона А треугольника) и пять метров во времени (сторона B). Квадрат 4–16, квадрат 5–25. Разность 25–16 равна 9. Квадратный корень из 9–3. Итак, третья сторона треугольника, сторона С, мировая линия движущегося объекта, имеет в пространстве-времени длину три метра.
Рис. 10.5. В прямоугольном треугольнике расстояние в пространстве обозначено катетом А, расстояние во времени катетом В, а мировая линия в пространстве-времени – гипотенузой С.
Теперь представим себе, что наш объект – человек и на руке у него часы. Часы покажут эту длину (три метра времени) как “время”. На рисунке 10.6 Лорен остается неподвижна в пространстве, пока ее часы отсчитывают пять часов. Ее брат-близнец Тим движется со скоростью четыре пятых скорости света, и для него, пока у Лорен проходит пять часов, проходит всего три часа. Тим разворачивается и возвращается, вновь отсчитав три часа, пока Лорен отсчитывает пять. Теперь, когда они встретятся, Тим окажется чуть-чуть моложе своей сестры-близнеца. Это один из замечательных парадоксов вселенной, которым научил нас Эйнштейн.
Тим три часа (по своим часам) летит в космосе со скоростью четыре пятых скорости света. Его сестра-близнец Лорен остается дома и не путешествует в пространстве. На часах Лорен проходит десять часов, а на часах Тима только шесть – вернувшись, он окажется на четыре часа моложе своей сестры-близнеца.
Теперь рассмотрим пространственно-временные диаграммы и мировые линии объектов поменьше – элементарных частиц.
“Сумма историй”, или вероятность визита на Венеру
Мы уже обсудили “размазанную” позицию электронов в атомной модели. Эта позиция “размазана”, потому что невозможно одновременно с большой точностью измерить позицию и движение любого электрона. Ричард Фейнман нашел способ решить эту проблему – теперь мы называем этот способ “суммой историй”.
Предположим, мы решили рассмотреть все маршруты, по которым Красная Шапочка добирается из дома до бабушки. Не только самый быстрый путь, по прямой, и не только самый безопасный, в обход волчьего леса, но вообще все мыслимые маршруты. Их миллиарды и миллиарды. В итоге получится гигантская размытая картинка, на которой будут представлены все линии и кривые, как будто Красная Шапочка движется одновременно по всем направлениям. Тем не менее среди этих маршрутов есть некоторые наиболее вероятные. Изучая вероятность маршрутов Красной Шапочки, мы придем к выводу, что она вряд ли по пути к бабушке заглянула на Венеру, то есть вероятность этого крайне мала, но все же, по мнению Фейнмана, и такой вариант исключать нельзя. Крайне низкая вероятность – это не ноль.
По такому же принципу “суммы историй” физики рисуют в пространстве-времени все возможные маршруты конкретной частицы, все ее вероятные “истории”. Затем вычисляется вероятность прохождения частицы через конкретный пункт – так мы вычисляли вероятность визита Красной Шапочки на Венеру. (Только не думайте, будто частицы выбирают свой путь. Это уж значило бы чересчур далеко заходить с аналогией.)
Хокинг нашел методу суммы историй другое применение: он предложил рассмотреть все истории, какие могли быть у вселенной (вернее, те из них, которые представляются наиболее вероятными).
Прежде чем идти дальше, сделаем одну оговорку: хотя теория относительности приучила нас к понятию пространства-времени с четырьмя измерениями – три пространства, одно времени, – между временем и пространством имеются все же физические различия. Одним из этих различий объясняется особенность измерения расстояния между двумя точками пространства-времени – гипотенузы рассмотренного выше треугольника.
Рисунок 10.7а представляет два автономных события на графике пространства-времени. Эти события соединены мировой линией, которая отклоняется от оси времени более чем на 45 градусов. Эти две точки не могут обмениваться информацией, поскольку информация не распространяется со скоростью, превышающей скорость света. В таком случае – если расстояние между двумя событиями в пространстве превышает расстояние между ними во времени – квадрат гипотенузы (сторона С) является положительным числом. На языке физики: квадрат “четырехмерного расстояния” между событиями X и Y – положительное число.
На рисунке 10.7b также изображены два события. Расстояние во времени между ними больше расстояния в пространстве. Соединяющая их мировая линия отклоняется от оси времени менее чем на 45 градусов. Информация успеет попасть из точки X в точку Y, путешествуя со скоростью ниже скорости света. То есть в физике квадрат четырехмерного расстояния между событиями X и Y – отрицательное число.
Рис. 10.7. Разница между пространством и временем.
Вы еще не заблудились? Последние два абзаца были трудноваты. И если вы читали внимательно, сейчас, вероятно, в вашем мозгу вспыхнул тревожный сигнал. Квадрат числа не бывает отрицательным! В нашей математике такого просто не может быть. Если квадрат окажется отрицательным, то как извлечь квадратный корень? Сколько будет – квадратный корень из –9? В нашей математике квадрат любого числа, и положительного, и отрицательного, – всегда положительное число. Три в квадрате – девять и минус три в квадрате – тоже девять. Минус девять не получится, как ни крути. Квадрат не бывает отрицательным, и точка.
Стивен Хокинг и другие физики сумели обойти это противоречие. Допустим, что все же существуют числа, которые, будучи умножены на самих себя, дают отрицательное произведение. Допустим – и посмотрим, что произойдет. Скажем, некое воображаемое число, умноженное на самое себя, дает минус единицу. Вычислим истории частиц и истории вселенной, используя эти воображаемые числа. Будем вести расчеты в “мнимом”, а не в “реальном” времени. Время, которое нужно, чтобы добраться из пункта X до пункта Y на рисунке 10.7b, – мнимое время. Квадратный корень из минус девяти – мнимая тройка.
Пусть эти числа послужат для нас математическим приемом (даже фокусом, если угодно) в расчетах, которые иначе не имели бы смысла. “Мнимое время” позволяет физикам точнее рассчитывать гравитацию на атомном уровне и по-новому взглянуть на раннюю историю вселенной.
