Достаточно ли нам этих правил, чтобы решить проблему шевалье? Давайте взглянем на первую игру.
Первая игра: бросая одну кость четыре раза, шевалье выигрывал, если выпадала по крайней мере одна шестерка.
Мы уже пришли к тому, что могли пересчитать все результаты и получить ответ 671/1296, но это заняло бы целый час. Можно ли сделать это быстрее, используя те правила, которые мы уже знаем?
(Я хочу вас предупредить: дальше все будет несколько сложнее. Если вам это не сильно нужно, избавьте себя от лишней головной боли и просто пропустите правило 7. Если вам действительно интересна разгадка, приготовьтесь – оно того стоит.)
Если бы вопрос был о том, каковы шансы выпадения четырех шестерок при кидании одной кости четыре раза, это был бы вопрос с «И» для четырех не взаимоисключающих событий, что позволило бы нам обойтись правилом 6: 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/1296. Но в нашей задаче другое условие. Перед нами стоит вопрос с «ИЛИ» для четырех не взаимоисключающих событий (возможно, что шевалье получит больше, чем одну шестерку за четыре броска). Так что же нам делать? Первый способ – выделить взаимоисключающие события и суммировать их. Но есть и другой способ описать словами эту игру.
Какой шанс бросить кость и получить следующие результаты:
1. Четыре шестерки, ИЛИ
2. Три шестерки и одна не-шестерка, ИЛИ
3. Две шестерки и две не-шестерки, ИЛИ
4. Одна шестерка и три не-шестерки?
Звучит сложновато, но мы имеем четыре взаимоисключающих события, и, если сможем узнать вероятность каждого из них, то сможем просто суммировать их и получить ответ на свой вопрос. Мы уже узнали вероятность события 1, используя правило 6: 1/1296. А что насчет 2? На самом ли деле 2 – это четыре разных взаимоисключающих события:
a) 6, 6, 6, не-шесть;
b) 6, 6, не-шесть, 6;
c) 6, не-шесть, 6, 6;
d) не-шесть, 6, 6, 6?
Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а вероятность выпадения не-шестерки – 5/6. То есть вероятность каждого из этих событий – 1/6 × 1/6 × 1/6 × 5/6 = 5/1296. Теперь, если суммировать все четыре, получается 20/1296. Выходит, что вероятность 2 – 20/1296.
Что насчет 3? Здесь все так же, как и в предыдущем случае, но с большим количеством комбинаций. Сложно посчитать точное количество комбинаций с двумя шестерками и двумя не-шестерками, но эта цифра равна шести:
a) 6, 6, не-шесть, не-шесть;
b) 6, не-шесть, 6, не-шесть;
c) 6, не-шесть, не-шесть, 6;
d) не-шесть, 6, 6, не-шесть;
e) не-шесть, 6, не-шесть, 6;
f) не-шесть, не-шесть, 6, 6.
И вероятность каждой из них – 1/6 × 1/6 × 5/6 × 5/6 = 25/1296. Суммируем все шесть и получаем 150/1296.
Осталось только 4, что является противоположностью 1:
a) не-шесть, не-шесть, не-шесть, 6;
b) не-шесть, не-шесть, 6, не-шесть;
c) не-шесть, 6, не-шесть, не-шесть;
d) 6, не-шесть, не-шесть, не-шесть.
Вероятность каждого из вариантов – 5/6 × 5/6 × 5/6 × 1/6 = 125/1296. Складываем все четыре и получаем 500/1296.
Выходит, мы высчитали вероятность для четырех взаимоисключающих событий:
1. Четыре шестерки – (1/1296);
2. Три шестерки и одна не-шестерка – (20/1296);
3. Две шестерки и две не-шестерки – (150/1296);
4. Одна шестерка и три не-шестерки – (500/1296).
Суммируя эти четыре вероятности (в соответствии с правилом 5), мы получаем общую вероятность 671/1296, или около 51,77 %. Таким образом, мы можем видеть, насколько выгодной была эта игра для шевалье. Побеждая чаще, чем в 50 % случаев, он в конечном счете имел неплохие шансы на выигрыш, но вероятность была достаточно близка к середине, чтобы его друзья верили, что у них был шанс победить, – по крайней мере какое-то время. Но этот результат определенно отличается от тех 66 %, на которые рассчитывал шевалье.
Тот же ответ мы могли бы получить путем перечисления, но это заняло бы слишком много времени. Некое перечисление все же имело место, но правила сложения и умножения позволяют нам перечислять все намного быстрее. Сможем ли мы таким путем получить ответ на вопрос о второй игре шевалье? Можем, но с 24 бросками двух костей мы потратили бы на это больше часа. Такой подход определенно быстрее перечисления, но, если проявить немного смекалки, можно еще ускорить процесс – и здесь на помощь приходит правило 7.
Правило 7: Один минус «да» = «нет»
Это больше интуитивное правило. Если шанс какого-то события равен 10 %, то шанс, что это событие не произойдет, – 90 %. Почему это полезно? Потому что иногда вычислить вероятность возникновения какого-то события сложнее, чем вероятность того, что оно НЕ произойдет.
Посмотрим на вторую игру шевалье. Вычислить вероятность выпадения по крайней мере одной двойной шестерки при 24 бросках было бы крайне трудно потому, что тогда бы нам пришлось сложить слишком много событий (1 двойная шестерка, 23 не-шестерки, 2 двойные шестерки, 22 не-шестерки и т. д.). Но что, если мы поставим вопрос иначе: какой шанс бросить две кости двадцать четыре раза и НЕ выбросить ни одной двойной шестерки? Теперь это вопрос с «И» для не взаимоисключающих событий, так что мы можем применить правило 6, чтобы узнать ответ. Но сначала мы еще два раза используем правило 7 – смотрите.
Шанс, что двойная шестерка выпадет после одного броска, равен 1/36. Итак, согласно правилу 7, вероятность того, что двойная шестерка не выпадет, – 1 – 1/36, или 35/36.
То есть, если применить правило 6 (умножение), шанс на то, что двойная шестерка не выпадет ни разу при 24 бросках, составит 35/36 × 35/36 двадцать четыре раза, или, чтобы было понятнее, 35/36 в 24-й степени. Вы вряд ли захотите делать все эти подсчеты вручную, но если взять калькулятор, то вы увидите, что ответ – 0,5086, или 50,86 %. Но это вероятность проигрыша шевалье. Чтобы вычислить вероятность его выигрыша, нам нужно применить правило 7 еще раз: 1 – 0,5086 = 49,14 %. Теперь понятно, почему он проигрывал. Шанс на победу был настолько близким к половине, что его трудно было отличить от шанса на поражение, но после большого количества игровых сессий стало понятно, что поражение было более вероятным исходом.
Несмотря на то что все вопросы, связанные с вероятностью, можно решить посредством перечисления, правило 7 поможет вам сохранить много времени. На самом деле, это же правило мы могли бы применить и для первой игры шевалье.
Правило 8: Сумма нескольких линейных случайных исходов – это НЕ линейный случайный исход!
Не паникуйте. Как бы сложно это ни звучало, на самом деле все просто. «Линейный случайный исход» – это просто случайное событие, в котором все результаты имеют одинаковую вероятность. Бросание игральной кости – это отличный пример линейного случайного выбора. Хотя, если бросить несколько игральных костей, то возможные результаты НЕ будут иметь одинаковую вероятность. Если вы, например, бросаете две кости, то шанс получить семь довольно высок, в то время как шанс получить 12 намного меньше. Перечислив все возможности, вы поймете, почему так получается:
