Пространство кажется нам непрерывным только потому, что мы не способны воспринимать чрезвычайно малый масштаб отдельных квантов пространства. Точно так же, когда мы вблизи рассматриваем ткань футболки, то видим, что она состоит из тонких переплетающихся нитей.
Когда мы говорим, что объем комнаты составляет, например, 100 кубических метров, мы на самом деле подсчитываем зерна пространства – кванты гравитационного поля, – которые в ней содержатся. Для комнаты их количество выражается стозначным числом. Когда мы говорим, что площадь этой страницы – 200 квадратных сантиметров, мы в действительности считаем число ребер паутины (или петель), пересекающих страницу. Для страницы этой книги число квантов площади выражается примерно семидесятизначным числом.
Идея, что измерение длины, площади и объема – это вопрос подсчета их отдельных элементов, была предложена в XIX веке самим Риманом. Математик, который разработал теорию непрерывных искривленных математических пространств, уже понимал, что дискретное физическое пространство, в конечном счете, более разумная идея, чем непрерывное.
Подводя итоги, можно сказать, что петлевая квантовая гравитация, или петлевая теория, объединяет общую теорию относительности с квантовой механикой довольно консервативным образом, поскольку она не вводит никаких других гипотез, кроме тех, которые содержатся в самих этих теориях, записанных в такой форме, чтобы они были совместимы. Однако выводы оказываются поистине радикальными.
Общая теория относительности говорит, что пространство – это нечто динамическое, подобно электромагнитному полю: огромный подвижный моллюск, внутрь которого мы все погружены, растягивающийся и изгибающийся. Квантовая механика утверждает, что любое поле такого рода состоит из квантов, иными словами, оно имеет тонкую зернистую структуру. Отсюда следует, что физическое пространство, будучи полем, тоже состоит из квантов. Такая же зернистая структура, характерная для других квантовых полей, присуща и квантовому гравитационному полю, а значит, и пространству. Мы ожидаем, что пространство будет зернистым. Мы ожидаем, что существуют кванты гравитации, так же как есть кванты света, кванты электромагнитного поля и частицы, служащие квантами квантовых полей. Но поскольку пространство является гравитационным полем, кванты гравитационного поля – это кванты пространства, его зернистые составляющие.
Главное предсказание петлевой теории состоит, таким образом, в том, что пространство не является континуумом, его нельзя делить до бесконечности, оно состоит из «атомов пространства», которые в миллиарды миллиардов раз меньше самого маленького из атомных ядер.
Петлевая теория описывает эту атомарную, или зернистую, квантовую структуру пространства в точной математической форме, полученной путем применения общих уравнений квантовой механики, выведенных Дираком, к эйнштейновскому гравитационному полю.
В частности, петлевая теория говорит, что объем (например, объем некоторого куба) не может быть сколь угодно малым. Существует минимальный объем. Не может существовать области пространства меньше этого минимального объема. Существует минимальный квантовый объем – элементарный атом пространства.
Атомы пространства
Помните Ахиллеса, соревнующегося с черепахой? Как отмечал Зенон, трудно принять идею, что Ахиллес преодолевает бесконечное число отрезков, прежде чем догнать медлительное животное. Математики нашли возможный ответ на это затруднение, показав, как бесконечное число последовательно уменьшающихся интервалов может, тем не менее, складываться в конечный совокупный интервал.
Но действительно ли это происходит в природе? Реальны ли интервалы между Ахиллесом и черепахой, становящиеся сколь угодно короткими? Действительно ли имеет смысл говорить о миллиардно-миллиардно-миллиардных долях миллиметра, а затем представлять их себе делимыми вновь и вновь бесконечное число раз?
Расчеты квантовых спектров геометрических величин показывают, что ответ на этот вопрос отрицательный: сколь угодно малых кусочков пространства не существует. Есть нижний предел делимости пространства. Он, конечно, очень мал, но он существует. Именно об этом догадывался Матвей Бронштейн в 1930-х годах. Расчеты спектров объема и площади подтверждают его идею и придают ей математически точную форму.
Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зерен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться все ближе и ближе к черепахе, пока, наконец, не настигнет ее одним квантовым скачком.
Однако если подумать, не есть ли это в точности то же решение, что было предложено Левкиппом и Демокритом? Они говорили о зернистой структуре материи, но мы плохо представляем себе, что же в точности они говорили о пространстве. К сожалению, у нас нет их текстов, и мы вынуждены обходиться скудными фрагментами, которые цитируют другие авторы. Это подобно попыткам восстановить шекспировские пьесы по списку цитат из Шекспира
[98]. Упоминаемое Аристотелем демокритовское рассуждение об абсурдности континуума как совокупности точек может быть применено к пространству. Я представляю себе, как спрашиваю Демокрита, имеет ли смысл деление пространственного интервала до бесконечности, а он в ответ может лишь повторить, что делимость должна иметь предел. Для философа из Абдеры материя состояла из неделимых атомов. Но я думаю, осознав однажды, что пространство очень похоже на материю и, как он сам отмечал, имеет свою собственную природу, «определенную физику», он бы без колебаний сделал вывод о том, что пространство тоже может состоять только из элементарных неделимых кусочков. Возможно, мы лишь идем по стопам Демокрита.
Я, конечно, не имею в виду, что физика двух последующих тысячелетий была бесполезной, что эксперименты и математический аппарат не нужны и что Демокрит столь же убедителен, как современная наука. Очевидно, что это не так. Без экспериментов и математики мы никогда не поняли бы того, что понимаем сейчас. Однако мы разработали свои концептуальные схемы понимания мира не только исследуя новые идеи, но также опираясь на мощную интуицию гигантов прошлого. Демокрит – один из них, и мы открываем новое, сидя на его титанических плечах.
Вернемся, однако, к квантовой гравитации.
Спиновые сети
Графы, которые описывают квантовые состояния пространства, характеризуется объемом v для каждого узла и полуцелой величиной j для каждого ребра. Граф с такой дополнительной информацией называется спиновой сетью (рис. 6.4). (Полуцелые величины в физике называют спином, поскольку они появляются в квантовой механике вращающихся объектов
[99].) Спиновая сеть представляет квантовое состояние гравитационного поля – квантовое состояние пространства; зернистого пространства, в котором площадь и объем дискретны. Мелкоячеистые сети широко используются в физике как аппроксимации непрерывного пространства. Здесь же нет пространственного континуума, нуждающегося в аппроксимации, – пространство зернисто по своей природе.
