Чтобы дать логическое определение числа, Фреге использовал понятие класса, который он определил как объем понятия. Так, понятию «человек» соответствует класс людей, понятию «стол» — класс столов и так далее. Аксиомой в его системе было то, что каждому значимому понятию соответствует объект, класс, который является его объемом. Рассел обнаружил, что при определенной последовательности рассуждений это приводит к противоречию. Ибо при таком допущении некоторые классы будут принадлежать сами себе, а некоторые — не будут; класс всех классов сам является классом и таким образом принадлежит сам себе; класс людей сам не является человеком и поэтому не принадлежит сам себе. На этой основе мы образуем «класс всех классов, которые не принадлежат сами себе». Теперь спросим: является ли этот класс элементом самого себя или же нет? И утвердительный, и отрицательный ответы приводят к противоречию. Ясно, что если из аксиом Фреге можно вывести противоречие, то его система логики является шатким основанием, на котором строится вся математика.
До публикации своего открытия Рассел написал Фреге в Университет Йены, чтобы сообщить ему об этом. Фреге тогда готовил второй том своих «Основных законов». Хотя он включил в него поспешную и неудовлетворительную реакцию на парадокс, Фреге понял, что этот парадокс делает всю систему совершенно некорректной. Сам Рассел предложил избежать противоречия с помощью стратегии, которая названа им «теорией типов» и кратко изложена во втором приложении к «Основаниям». Она постулирует иерархию типов объектов, совокупность которых можно обоснованно сгруппировать вместе, чтобы образовать множества: так, первый тип — это индивиды, второй — классы индивидов, третий — классы классов индивидов и так далее. Множества должны быть совокупностями объектов одного и того же типа; следовательно, нет такой вещи, как множество, являющееся элементом самого себя.
Теория типов действительно избегает противоречия, но за счет введения в систему некоторых специальных допущений. Может быть верно, что есть разные типы объектов; может также быть верно, что нет множества, которое являлось бы элементом самого себя — вряд ли от этих тривиальных, самоочевидных истин логики Рассел изначально собирался отталкиваться. Сам Рассел этим не удовлетворяется и завершает книгу вызовом:
Как можно справиться с этой трудностью, мне не удалось понять; но так как она затрагивает самые основы рассуждения, я искренне рекомендую всем студентам, обучающимся логике, обратить свое внимание на это исследование
[39].
Это была идеальная приманка для Витгенштейна, и, следуя совету Рассела, он искренне посвятил себя решению парадокса. Первые два семестра в Манчестере Витгенштейн занимался по большей части внимательным изучением «Оснований» Рассела и «Основных законов» Фреге, к концу марта 1909 года сформулировав первую попытку решения, которое послал другу Рассела — математику и историку математики Филиппу Э.Б. Журдэну.
То, что Витгенштейн послал свое решение Журдэну, а не Расселу или Фреге, возможно, указывает на некоторую его неуверенность. Скорее всего, он натолкнулся на это имя в выпуске «Философского журнала» за 1905 год, где были опубликованы статья Журдэна об основаниях математики и статья преподавателя Витгенштейна в Манчестере, Горация Лэмба. Запись в книге регистрации корреспонденции Журдэна от 20 апреля показывает, что он ответил на решение Витгенштейна, предварительного обсудив его с Расселом. Кажется, ни один не согласился с этим решением:
Рассел сказал, что мнение, выраженное мной в ответе Витгенштейну (который «решил» парадокс Рассела), соответствует его собственному
[40].
Гермина утверждает, что Витгенштейн, увлекшись философией математики, ужасно страдал от того, что разрывался между двумя призваниями. Может быть, реакция Журдэна убедила его вернуться к аэронавтике. В течение двух лет он больше не ввязывался в споры, пока наконец не обратился напрямую к Фреге и Расселу, чтобы представить им более обдуманную философскую позицию. Пусть его и влекли философские проблемы, все же ему надо было знать точно, обладает ли он талантом к философии.
Нисколько не сомневаясь, что к инженерному делу у него нет ни таланта, ни пристрастия, Витгенштейн упорно продолжал работать над разработкой авиационного двигателя. План предложенного им двигателя сохранился: предполагалось, что пропеллер будет вращаться при помощи газа, подаваемого под большим давлением из камеры сгорания (так же как давление воды из шланга заставляет поворачиваться газонный разбрызгиватель). Идея имела существенные недостатки, и поднять аэроплан в воздух не получилось бы. Однако во время Второй мировой войны эту идею успешно переработали и использовали в конструкции некоторых вертолетов.
Специально для Витгенштейна местная компания произвела двигатель внутреннего сгорания, и большая часть его исследований состояла из экспериментов с различными соплами. В лаборатории ему помогал ассистент по имени Джим Бэмбер, «один из немногих людей, с кем я ладил в мой манчестерский период»
[41], признавался он позднее. К его раздражению от необходимости заниматься конструкторской работой добавилась сложность задачи, и, как вспоминает Бэмбер, «нервный темперамент делал его последним человеком, кто бы мог заниматься подобными исследованиями»:
…потому что когда что-то шло не так, а это случалось часто, он начинал размахивать руками, топал ногами и выразительно ругался по-немецки
[42].
Бэмбер сообщает, что Витгенштейн мог пропустить обед и работать до вечера, и тогда отдыхал, сидя в очень горячей ванне («он любил хвастаться температурой воды»
[43]), или шел на концерт Hallé Orchestra, часто вместе с Бэмбером, и «любил сидеть на концерте, не говоря ни слова, целиком поглощенный музыкой»
[44].
В число других развлечений входили пикники с Экклзом, к тому времени покинувшим университет, чтобы заняться проектированием в Манчестере. Экклзу запомнился один воскресный вечер: Витгенштейну захотелось поехать к морю, в Блэкпул. Обнаружив, что подходящего поезда нет, он даже не попытался найти альтернативу и предложил нанять специальный поезд только для них двоих. В конце концов, Экклз отговорил его, предложив воспользоваться менее дорогим (хотя все еще, по мнению Экклза, экстравагантным) способом — взять такси до Ливерпуля, откуда они могли отправиться на пароме через Мерси.
На второй год в Манчестере Витгенштейн отказался от попыток создать реактивный двигатель и сосредоточился на пропеллере. Его работу в университете оценили достаточно серьезно и назначили ему исследовательскую стипендию на последний его год пребывания, 1910–1911. Сам он так верил в важность и оригинальность своей работы, что решил запатентовать свою модель. Заявка вместе с предварительной спецификацией его модели для «Улучшений в пропеллерах, предназначенных для воздушных машин», датирована 22 ноября 1910 года. 21 июня 1911 года он предоставил полную спецификацию и 17 августа того же года получил патент.
