Тьюринг думает, что мы с ним используем слово «эксперимент» двумя разными способами. Но я хочу показать, что это не так. То есть я думаю, что если бы я мог объяснить, что я имею в виду, Тьюринг перестал бы говорить, что мы проводим в математике эксперименты. Если бы я мог расставить по порядку определенные хорошо известные факты, тогда стало бы ясно, что мы с Тьюрингом используем слово «эксперимент» одинаково.
Вы можете сказать: «Но почему это непонимание так трудно устранить?»
Это можно объяснить отчасти разницей в образовании
[1022].
А можно объяснить тем, что Тьюринг отказался покинуть свой математический рай или что он подозревал Витгенштейна в большевизме. Нельзя было объяснить только существенной разницы во мнениях. «Очевидно, — говорил он классу, — весь смысл в том, что у меня не должно быть мнения»
[1023].
Витгенштейн, однако, совершенно точно имел очень четкое мнение — мнение, которое расходилось с концепцией предмета, предложенной большинством профессиональных математиков. Его предположение, что Тьюринг подозревает его во «внедрении большевизма в математику»
[1024], — это отсылка к эссе Фрэнка Рамсея 1925 года «Основы математики», в котором он говорил о спасении математики от «большевистской угрозы» Брауэра и Вейля, которые, отрицая закон исключенного третьего, рассматривали как неверные некоторые стандартные доказательства стандартного анализа. Тьюрингу, однако, должно было показаться, что большевизм Витгенштейна гораздо радикальнее. Витгенштейн бросал вызов не только закону исключенного третьего, но и принципу противоречия.
Все традиционные школы мысли, затрагивающие основания математики, — логицизм, формализм, интуиционизм — соглашаются, что если система содержит в себе скрытые противоречия, то от нее следует отказаться на основании ее противоречивости. Действительно, весь смысл обеспечения математики надежными логическими основаниями в том и состоит, что математический анализ в его традиционном понимании явно противоречив.
В своих лекциях Витгенштейн высмеивает эту озабоченность «скрытыми противоречиями», и именно здесь Тьюринг выражал самое упорное и энергичное несогласие. Возьмем парадокс лжеца, предлагал Витгенштейн:
Он очень странный в том смысле, что каждый должен бы озадачиться, — гораздо невероятнее, чем вы можете подумать: что он вообще может беспокоить людей. Потому что он работает примерно так: если человек говорит «я лгу», мы говорим, что из этого следует, что он не лжет, из чего следует, что он лжет и так далее. Ну, так что же? Вы можете продолжать, пока не почернеете. Почему нет? Это не важно
[1025].
В парадоксах такого типа, пытался объяснить Тьюринг, озадачивало то, «что обычно противоречие используют как критерий чего-то неправильного. Но в этом случае нельзя найти ничего неправильного». Да, ответил Витгенштейн, потому что ничего неправильного там нет: «Можно сказать: „Это можно объяснить только теорией типов“. Но что здесь объяснять?»
Тьюринг явно жаждал объяснить не только почему парадокс озадачивает, но и почему он имеет значение. Настоящий вред система, которая содержит противоречие, предполагал он, «не причинит, пока не будет применена на практике, в случае чего мост может упасть или что-то в этом роде»
[1026]. На следующей лекции он вернулся в бой и почти всю лекцию заняли дебаты о важности обнаружения «скрытых противоречий»:
Тьюринг: Вы не можете быть уверены в применимости своих расчетов, пока не узнаете, что в них нет скрытых противоречий. Витгенштейн: Мне кажется, здесь огромная ошибка. Ведь ваш расчет дает определенные результаты, и вы хотите, чтобы мост не разрушился. Я хочу сказать, что что-то может пойти неправильно только двумя путями: или мост обрушится, или вы сделаете ошибку в ваших расчетах — например, неправильно умножите. Но вы, кажется, думаете, что может быть неправильным третье: сам расчет неверен.
Тьюринг: Нет. Я против того, чтобы мост падал.
Витгенштейн: Но как вы узнаете, что он упадет? Разве это не вопрос физики? Может такое случиться, что кто-то рассчитает мост, всего лишь бросив кости, а он никогда не упадет.
Тьюринг: Если взять символизм Фреге и дать кому-то технику умножения, а потом использовать парадокс Рассела, он не сможет рассчитать неправильно.
Витгенштейн: Это приведет к чему-то, что мы не сможем назвать умножением. Вы даете ему правило умножения, и когда он придет к определенному выводу, он может пойти двумя путями, один из которых будет неверным
[1027].
«Кажется, вы говорите, — предположил Тьюринг, — что если пользуешься хотя бы крупицей здравого смысла, то не совершишь ошибку»
[1028]. «Нет, — взорвался Витгенштейн, — я совсем НЕ ТО имел в виду». Он, скорее, считал, что противоречие не может никого сбить с пути, потому что оно не ведет никуда вообще. Нельзя неправильно сделать расчет, имея противоречие, потому что его просто не получится использовать для расчетов. Нельзя ничего сделать с противоречиями, только потеряешь время на их разгадку.
После еще двух лекций Тьюринг перестал на них ходить, несомненно убежденный, что если Витгенштейн не понимает, что противоречие — это роковая ошибка в системе математики, то у них не может быть ничего общего. Действительно, нужна определенная смелость, чтобы посещать классы в качестве единственного представителя всего, на что нападает Витгенштейн, окруженный своими последователями, и вести обсуждения непривычным для себя способом. Эндрю Ходжес в своей великолепной биографии Тьюринга
[1029] удивляется тому, что расценивает как робость Тьюринга в этих дискуссиях, и приводит в качестве примера тот факт, что, несмотря на долгие обсуждения природы «правила» в математике, Тьюринг ни разу не предложил определения в терминах машин Тьюринга. Но Тьюринг понимал, что Витгенштейн отмел бы такое определение как нерелевантное; дискуссия велась на более фундаментальном уровне. Витгенштейн атаковал не то или иное определение, а саму мотивацию создания таких определений.
За исключением Алистера Уотсона и, возможно, еще нескольких студентов, многие из посещавших эти лекции так до конца и не поняли, что было поставлено на карту в споре между Витгенштейном и Тьюрингом, не смогли полностью осознать, насколько радикально взгляды Витгенштейна порывают со всем, что было ранее сказано или написано в философии математики. Их больше интересовал Витгенштейн, нежели математика. Норман Малкольм, например, говорил: хотя он осознавал, что «Витгенштейн делает что-то очень важное»
[1030], он «почти ничего не понимал в его лекциях», пока не пересмотрел свои конспекты через десять лет.
