Регрессия к среднему
Итак, кажется, причина того, что у выдающихся отцов рождаются менее выдающиеся сыновья, не связана с половым размножением, но от этого результаты наблюдений не становятся менее загадочными. Гальтон назвал это явление «регрессией к среднему» — другими словами, возвратом к середине. Но назвать еще не значит объяснить. Почему население в целом не становится со временем более усредненным? А оно и в самом деле таким не становится. Гальтон исследовал несколько поколений растений табака и обнаружил, что в разных поколениях приблизительно одинакова не только средняя длина листа, но и стандартное отклонение: в каждом поколении присутствовала приблизительно одна и та же доля растений с необычайно длинными листьями. То есть растения табака, по-видимому, не склонны сползать к посредственности — и то же можно сказать и о людях; в каждую эпоху появляются свои выдающиеся личности.
Гальтон рассудил так: если дети необычайно одаренных людей не блещут удивительными талантами, то, вероятно, выдающимися оказываются дети людей среднего уровня или, возможно, уровня чуть выше среднего. Поэтому он решил повторить те же исследования, развернув их в другую сторону: на этот раз он хотел рассмотреть не детей, а родителей высокоталантливых людей. Разумеется, ни о какой причинно-следственной связи тут речи быть не может: если отец может влиять или не влиять на достижения своего сына, было бы абсурдом предполагать, что талант сына может каким-то образом передаваться в обратную сторону, отцу. Во всяком случае, Чарльз Дарвин, двоюродный брат Гальтона, уже покончил с концепцией улучшения в биологии. Эволюция организмов управляется случайной приспособленностью к окружающей среде, а не движением к какой-то «улучшенной» форме. В свете этого открытия идея исследования не следующего, а именно предыдущего поколения казалась уже не столь бессмысленной.
Поскольку человеческий интеллект — материя слишком сложная, Гальтон снова решил исследовать переменную, которую можно точно измерить. Он поставил свой обратный эксперимент на табачных листьях. Результаты, которые он получил, были вполне соизмеримы с результатами первого опыта: предки необычайно длиннолистных растений в основном имели листья более короткие, чем у их потомков, но тем не менее более длинные, чем в среднем. Поэтому Гальтон не удивился, когда, вернувшись к рассмотрению человека, обнаружил, что и качества отцов выдающихся людей в основном превышали средний уровень, но в общем и целом значительно в меньшей степени, чем качества их сыновей.
Явление регрессии к среднему проявляется и на другом конце спектра. Чрезвычайно низкий интеллектуальный уровень за несколько поколений хоть и медленно, но возвращается к среднему уровню; в то же время чрезвычайно низкие интеллектуальные способности встречаются у потомства родителей, находящихся на среднем уровне или лишь немного ниже его.
Таким образом, регрессия к среднему есть чисто математический феномен, наблюдаемый всякий раз, когда мы исследуем две отдельные переменные и определяем значения обеих для каждой особи в популяции. Не важно, о каких именно переменных и о какой именно популяции идет речь. Регрессия такого типа — свойство математической структуры, используемой для анализа популяции, а не конкретных свойств человеческих существ, табачных листьев или наследования.
Это положение можно проиллюстрировать на экстремальном примере. Предположим, я утверждаю, что я — великий волшебник и могу одним заклинанием превратить невезение в везение. Узрите же проявление моего могущества! Я предлагаю тысяче человек бросить по три игральных кости. В среднем около пяти из них выкинут неудачное сочетание — скажем, три единицы. Ясно, что это люди невезучие. Но я могу избавить их от невезения: я произношу нараспев свое заклинание и предлагаю им снова бросить кости. Вероятность того, что кто-нибудь из пятерых снова выкинет три единицы, чрезвычайно мала. Я провозглашаю их исцеленными! Однако на самом деле они попросту подпали под действие математического закона регрессии к среднему.
Этот пример можно считать предельным, потому что между результатами первого и второго бросков костей нет абсолютно никакой связи. Очевидно, что второй бросок никак не «наследует» результаты первого. Если бы эти результаты наследовались, причем наследовались точно, то всякий, выкинувший три единицы в первый раз, выкидывал бы их и дальше, какие бы волшебные слова я ни бормотал себе под нос.
Биологическое наследование в большинстве случаев находится где-то между этими двумя крайностями; характеристики передаются потомству до некоторой степени, но их воспроизведение даже близко не подходит к стопроцентному, даже в случае бесполого размножения. Регрессия к среднему присутствует всегда, но она никогда не проявляется так ярко, как в примере с невезучими игроками в кости. Чем сильнее и точнее наследование, тем слабее проявляется в потомстве эффект регрессии к среднему, в то время как при более слабом наследовании регрессия становится сильнее.
Математическое явление регрессии к среднему может даже не иметь связи с наследованием. На самом деле «регрессия» — это набор статистических методов для оценки значения одной переменной исходя из значений другой. При этом, в зависимости от того, оцениваем ли мы значение переменной А по значениям переменной В или значение переменной В по значениям переменной А, результаты получаются разными. Если, например, спросить, каков средний рост мужчин, весящих 90 кг, то ответ — около 180 см. Но если спросить, каков средний вес мужчин ростом 180 см, окажется, что он не достигает ни 90, ни даже 85 кг. И в этом, возможно, нет ничего особенно удивительного, потому что очень низкорослый человек вполне может весить за сотню килограммов, что уменьшает средний рост. Но иногда результаты могут быть весьма неочевидными. Например, если мы пытаемся предсказать, к какому году численность населения Земли достигнет десяти миллиардов человек, то две рассматриваемые переменные — это численность населения и время. Допустим, по всем имеющимся данным выходит, что наиболее вероятная дата, по достижении которой нас станет десять миллиардов, — 2050 год (оценка значения времени по значению численности населения). Но если попытаться узнать, какова будет численность населения Земли в 2050 году (то есть оценить численность по значению времени), то самый точный ответ, который можно получить на том же наборе данных, — 9,3 миллиарда. Причем эти несовпадающие ответы даже не противоречат друг другу.
Вознаграждение и наказание
Психологи часто изучают воздействие наград и наказаний. Некоторые исследования показывают, что эффективность работников обычно падает после получения награды и возрастает после наказания. Из этого многие делают вывод, что наказание производит позитивное воздействие, а вознаграждение — негативное. Однако такой вывод ошибочен, потому что он не учитывает регрессии к среднему, которая действует независимо от конкретной природы вознаграждения и наказания. Она является следствием способа, которым мы изучаем и анализируем данные. Если помнить об этом, правильный вывод может оказаться диаметрально противоположным.
Людей обычно вознаграждают, когда они работают лучше обычного, а наказывают, когда качество их работы снижается. Регрессия к среднему говорит нам, что без какого-либо вознаграждения или наказания за необычайно хорошей работой обычно следует более слабая, а после на редкость плохой работы ее качество с большой вероятностью повышается. Без учета регрессии к среднему нельзя делать выводы о воздействии наград и наказаний.
