(Рис. Веры Мерё)
Труднее увидеть, почему биномиальная «кривая», образованная шариками, должна приближаться к распределению Гаусса. Почему не к распределению Коши или к какому-нибудь другому распределению, о котором я еще не упоминал? Причина кроется в сути центральной предельной теоремы
[45]. В отличие от пуль Фиби, которые подчиняются распределению Коши, шарики на доске Гальтона послушно следуют распределению Гаусса без значительных отклонений. Если построить по-настоящему большую доску, скажем с сотней рядов и столбцов, и запускать на нее каждую секунду по тысяче шариков, то можно ожидать, что до попадания шарика в паз номер 1 или номер 100 пройдут миллиарды миллиардов лет. Фиби гораздо раньше выпустила бы пулю, которая попала бы в точку на аналогичном расстоянии от середины стены.
Особенно изящна биологическая интерпретация центральной предельной теоремы
[46]. Предположим, что некоторая биологическая характеристика (например, рост) определяется несколькими мелкими компонентами, каждый из которых может принимать одно из нескольких значений, и мы можем моделировать эту характеристику в виде суммы индивидуальных вкладов таких компонентов. В этом случае центральная предельная теорема утверждает, что распределение нашей характеристики по крупной популяции будет соответствовать распределению Гаусса. Именно это утверждение и иллюстрирует доска Гальтона. Представим себе, что существуют шестьдесят генов, влияющих на рост, и каждый из них может быть двух видов — высоким или низким. Чем больше у особи высоких генов, тем больше будет ее рост. Если допустить, что низкий ген соответствует отскоку влево, а высокий — отскоку вправо, то у максимально высокой особи все шестьдесят генов должны быть высокими, что эквивалентно в математическом выражении шестидесяти последовательным отскокам шарика вправо. Аналогичным образом максимально низкая особь должна получить все шестьдесят генов низкими, что эквивалентно шестидесяти последовательным отскокам шарика влево. У большинства представителей популяции будет смесь высоких и низких генов, и соотношение их количеств будет таким же, как соотношение количеств шариков в пазах доски Гальтона.
Разумеется, на рост могут влиять не только генетические компоненты, но и факторы окружающей среды. На рост нашего тела влияют несколько генов, и все они сравнительно слабые. Кроме того, действуют внешние факторы — например, питание в детстве. В упрощенной модели дело обстоит похожим образом и с уровнем интеллектуального развития, хотя для него выявлено еще меньше генетических факторов, а факторы воздействия окружающей среды тоже очень разнообразны — от уровня питания ребенка до того, как ему читают и как с ним разговаривают. Никому не достаются только те факторы, что вносят свой вклад в более высокое интеллектуальное развитие, но те, кому их достается больше, предположительно получают более высокий уровень интеллекта.
Этот результат тоже в точности соответствует тому, что моделирует доска Гальтона. Разумеется, биологические явления гораздо сложнее, чем эта простая машина. События, влияющие на то, в каком месте в конце концов окажется шарик, — отскоки влево и отскоки вправо — независимы друг от друга. Шарик отскакивает на некотором уровне влево или вправо независимо от того, влево или вправо он отскочил на предыдущем. Эта независимость и позволяет машине приблизиться к распределению Гаусса.
В биологических системах такая независимость встречается редко. Каждый из факторов, влияющих на определенную характеристику, будь то ген, воздействие среды или что-то еще, обычно не бывает независимым от других факторов. Более того, разные факторы обычно влияют на получающуюся характеристику в разной степени. Поэтому на самом деле доска Гальтона моделирует мир живых существ лишь в очень ограниченных пределах.
Стабильность как следствие множественности компонентов
Нельзя сказать, чтобы математики приняли все это как данность. Многие типы центральной предельной теоремы были доказаны, причем было продемонстрировано, что разные варианты биномиального распределения также стремятся к распределению Гаусса. Например, было показано, что компоненты, вносящие свой вклад в некоторую характеристику, могут быть неодинаковой силы. На некоторых уровнях доски Гальтона они могут отскакивать вправо или влево не на один столбец, а на два или три. Такой сценарий труднее осуществить физически, но математический результат остается неизменным: в конце концов фасолины, попавшие в пазы, располагаются в соответствии с распределением Гаусса. Кроме того, события на том или ином уровне не обязательно должны быть независимы от другого уровня. Например, на поведение шарика на каком-то уровне до некоторой степени может влиять то, как он отскочил от шпенька уровнем раньше. До сих пор появляются все новые варианты центральной предельной теоремы. Суммарную картину, полученную на основе нескольких вариантов центральной предельной теоремы, можно приблизительно резюмировать следующим образом:
Если некая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами («слабыми» в том смысле, что ни один из них не сильнее всех других)
и между этими компонентами нет сильной взаимозависимости (то есть нет таких нескольких компонентов, которые определяют значения всех остальных),
то такая характеристика должна быть распределена по всей популяции в соответствии с распределением Гаусса.
Эту картину точно иллюстрирует представленное на илл. 7 распределение значений коэффициента интеллектуального развития (IQ). Оно очень похоже на гауссиану, которую мы видели раньше, за исключением небольшой «шишечки» в районе 70, единственного нарушения плавной картины. Эта «шишечка» соответствует популяции больных синдромом Дауна.
Илл. 7. Распределение значений IQ
(График Йожефа Бенце, на основе данных Kun and Szakács, 1997)
Синдром Дауна — это генетическое заболевание, вызванное наличием лишней копии 21-й хромосомы. Воздействие лишней хромосомы на уровень интеллектуального развития более или менее подавляет эффект всех остальных факторов — не настолько, чтобы человек полностью утрачивал все интеллектуальные способности, но у большинства взрослых с синдромом Дауна IQ бывает между 50 и 70, и все другие факторы, определяющие интеллектуальное развитие, влияют на эту цифру очень слабо. В случае интеллектуального развития другие столь же подавляющие компоненты появляются настолько редко, что их воздействие не отражается на кривой распределения (синдром Дауна встречается приблизительно у одного из тысячи новорожденных).
Рост распределяется примерно так же. Поскольку существует несколько генетических компонентов, которые неизбежно вызывают необычайно низкий или высокий рост, на кривой распределения роста, по форме весьма близкой к гауссиане, есть несколько пиков. В то же время с массой тела дело обстоит иначе. В следующей главе мы узнаем, почему это так.
