Математика центральной предельной теоремы образует фундамент, на котором природа может строить стабильные конструкции — например, популяции живых организмов. Возможно, пока природа экспериментировала по всей Вселенной, пробуя то одно, то другое, она создавала структуры как стабильные, так и нестабильные. По определению, выжили именно первые. Судя по тому, что мы знаем о физике, которая формировала космос после Большого взрыва, и о законах биологической эволюции, действенный способ достижения стабильности заключается в создании такой системы, в которой определенная характеристика создается сочетанием нескольких более или менее независимых компонентов сравнимой силы. Именно такое сочетание гарантирует, что данная характеристика будет распределена по приблизительно нормальному закону, что, в свою очередь, гарантирует ее стабильность из поколения в поколение (если не происходит резких изменений условий окружающей среды).
Однако несмотря на все усилия природы — а может быть, просто в соответствии с природой вещей, — иногда ей не удается создать характеристику через взаимодействие множества слабых компонентов. Иногда, как в случае синдрома Дауна, возникает компонент, подавляющий все остальные. Но даже в случае появления такого компонента природа применяет уловку — формирует каждую важную характеристику из суммы нескольких мелких, более или менее независимых компонентов, — и этого, как правило, бывает достаточно для достижения стабильности.
Я не знаю, что на самом деле является руководящим принципом природы — стремление к стабильности или просто сборка всего на свете из множества мелких компонентов, порождающая стабильность в качестве побочного продукта самого принципа строительства. Как бы то ни было, именно из-за центральной предельной теоремы столь многое в природе действует в соответствии с законами Тихонии и повсюду не царит свойственная Диконии нестабильность. Как мы помним из разговора о распределении Коши, положение точки, в которой выстрел Фиби попадает в стену, определяется одним-единственным компонентом, а именно тем угловым положением относительно стены, в котором Фиби оказывается после разворота. Если она повернута почти параллельно стене, малейшее изменение угла дает огромное расхождение в результатах. Поэтому нас не должно удивлять, что результат этот получается диконским — нестабильным в традиционном смысле этого слова. В Тихонии, где явления порождаются взаимодействием многочисленных мелких компонентов, мы ожидаем стабильности, с четко определенными понятиями среднего, или математического ожидания, и стандартного отклонения от среднего. Но в Диконии нормальна только ненормальность. Возможно все, что угодно, и у событий нет стандартного отклонения.
В этом и заключается фундаментальное различие между этими двумя мирами. То, что можно описать при помощи распределения Гаусса, составляющего самую основу Тихонии, часто определяется несколькими слабыми компонентами и потому остается стабильным до тех пор, пока не возникнет какого-нибудь подавляющего компонента. Сегодня это положение хорошо известно математикам, но его нужно было открыть, а для этого над этой задачей пришлось потрудиться весьма многим выдающимся умам, от Абрахама де Муавра, открывшего в 1733 году ранний вариант центральной предельной теоремы, до Гаусса, Гальтона, Пойи и нынешних исследователей, которые постоянно продолжают открывать все новые варианты центральной предельной теоремы и применять их к природным и общественным явлениям.
Абсолютная симметрия из абсолютной асимметрии
Математики обобщили центральную предельную теорему и в другом направлении. Из-за симметричности доски Гальтона — на каждом уровне каждый шарик с равной вероятностью может отскочить вправо или влево — это математическое устройство трудно использовать в качестве модели в биологии. В мире живых существ действует естественный отбор, содействующий некоторым из генов — тем, которые обеспечивают бо́льшую вероятность выживания, — больше, чем другим. Чтобы ввести в нашу модель естественный отбор, можно, например, сказать, что отскок вправо вносит в выживание больший вклад, чем отскок влево.
Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево — то есть против часовой стрелки, — как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.
На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.
Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать — и часто порождает — абсолютную симметрию.
Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал — он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.
Илл. 8. Фрактал
5. Окраины Тихонии
Тот, кто вечно молод душою, никогда ничего не изучает глубоко.
В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко
[47]. Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?
