Тот факт, что некоторые явления происходят по законам Тихонии, не исключает возможности подчинения других явлений законам Диконии. Нам нужно построить науки обоих миров и тщательно обдумывать, к какому из них принадлежит то или иное конкретное явление. Так гёделевское мышление, первоклассное произведение тихонской науки, заложило основу для понимания чудес Диконии.
Изменение мировоззрения, вызванное открытиями Гёделя, позволило считать явления Диконии не менее закономерными, чем явления Тихонии. Хотя тихонская наука явила на свет распределение Коши, казавшееся странным, потому что у него нет стандартного отклонения, а также теорему Гёделя и идею об использовании опровержения G в качестве аксиомы, что привело к идее о гипервещественных числах, тихонское мышление не допускало, что такие аномальные объекты можно применить в реальном мире. Эти математические явления казались всего лишь теоретическими объектами, представляющими чисто теоретический интерес. Мы еще поговорим о том, что породило необходимость реального изучения Диконии. Первой областью, в которой потребовалось диконское мировоззрение, оказалась экономика.
6. Источники равновесия
Ежа невозможно как следует причесать. Всегда остается место, в котором иголки торчат в разные стороны.
В 1910 году голландский математик Лёйтзен Брауэр доказал одну странную математическую теорему
[55]. Возьмите чашку кофе и как следует перемешайте его ложкой — сколь угодно сильно, но так, чтобы кофе оставался единой массой, не зачерпывая его ложкой и не выливая обратно. Закончив мешать, дождитесь, пока жидкость перестанет двигаться. Теорема Брауэра утверждает, что в кофе будет атом, который останется точно в том же месте, в котором он был до перемешивания. Другими словами, невозможно перемешать кофе в чашке так, чтобы все его атомы оказались в положениях, отличных от тех, в которых были до этого.
Можно предположить, что, если такой атом действительно существует, в конце перемешивания можно слегка сдвинуть его с места; в конце концов, никто не говорил нам, когда именно следует прекратить перемешивание. Но теорема Брауэра гарантирует, что при смещении этого конкретного атома какой-нибудь другой атом в какой-нибудь другой точке чашки сместится в свое исходное положение.
Разумеется, математики не выводят свои теоремы из чашки кофе. Я не хочу сказать, что кофе не играет никакой роли в создании математических теорем. Венгерский математик Альфред Реньи, который жить не мог без этого напитка, заметил однажды, что «математик — это устройство для преобразования кофе в теоремы». Но математики требуют точности, и их доказательство основывается не на чашке кофе, а на замкнутом, компактном и выпуклом множестве в некотором топологическом пространстве; вместо атомов они рассматривают точки этого пространства, а вместо перемешивания — отображение данного множества на само себя. Условие сохранения единой массы кофе выражается требованием непрерывности отображения. Тогда теорема формулируется следующим образом: непрерывное отображение из замкнутого, компактного и выпуклого множества имеет неподвижную точку. Это утверждение называется теоремой Брауэра о неподвижной точке.
Мы понимаем, насколько нестрогим был наш пример с чашкой кофе. Не случайно математики говорят о вещах более абстрактных, чем кофеиносодержащие напитки. Чашка кофе не является замкнутым множеством в математическом смысле слова. Ее границей служит стенка чашки, которая не является частью кофе; к тому же во время перемешивания кофе из него испаряются молекулы воды. Тем не менее такой конкретный пример живо иллюстрирует теорему; хотя ему недостает точности, он пробуждает интерес к задаче.
При отказе от условия непрерывности исчезает и необходимость неподвижной точки. Например, если нам каким-то образом удастся отделить нижнюю половину кофе от верхней (скажем, заморозив весь кофе и распилив его пополам), а затем поместить нижнюю половину наверх, а верхнюю — вниз, то каждый атом, содержащийся в кофе, окажется либо выше, либо ниже своего исходного положения: никаких неподвижных точек в кофе не останется.
Таким образом, теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что простым перемешиванием невозможно поменять местами верхнюю и нижнюю половины кофе в их исходной конфигурации. Мы можем мешать как угодно, но Брауэр гарантирует, что в каждый момент существует неподвижная точка, а в той конфигурации, которую мы хотим получить, неподвижных точек нет. Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет собой важный математический результат отчасти потому, что она настолько не соответствует нашим интуитивным представлениям: казалось бы, должен существовать способ, который перемещает все атомы в другие точки чашки. Аналогичным образом кажется, что должна существовать возможность причесать ежа. Речь идет о еже, свернувшемся в идеальный шар. Одно из следствий из теоремы Брауэра о неподвижной точке гласит, что, как бы мы его ни причесывали, на поверхности шара всегда останется по меньшей мере одно завихрение — участок, на котором иголки торчат в разные стороны.
Теоремы о неподвижной точке ценой в Нобелевскую премию
Математики обобщили изящную теорему Брауэра во многих направлениях
[56], и из различных ее приложений сформировалась целая новая область математики — теория неподвижной точки. Теорема была обобщена на многомерные пространства, на некоторые классы разрывных отображений и на некоторые другие случаи. Японский математик Сидзуо Какутани даже доказал теорему о неподвижной точке для некоторых абстрактных отображений, которые отображают единичную точку в целое множество. С тех пор обобщение Какутани стало одним из основных инструментов математической экономики. Но для того, чтобы извлечь из теоремы Брауэра по-настоящему глубокие выводы, потребовался математик калибра Джона фон Неймана.
Фон Нейман начал не с обобщения теоремы — он занялся рассмотрением ее приложений. Первое разработанное им приложение было довольно неожиданным: создание теории игр. Фон Нейман установил, что то, что Брауэр называл неподвижной точкой, в контексте стратегических игр можно считать — если использовать одно поразительное обобщение, имеющее широкую область применения, — точкой равновесия. «Равновесием» здесь называется набор стратегий (по одному стратегическому плану на каждого игрока), при использовании которого ни один из игроков не может улучшить свое положение только за счет изменения стратегии. Более подробное обсуждение теории игр можно найти в моей книге «Этические расчеты».
Создав теорию игр, фон Нейман понял, что при достаточно абстрактном рассмотрении экономики ее можно представить в виде набора игр и отображений. Стало быть, экономика состоит именно из тех двух компонентов, к которым применима теорема Брауэра о неподвижной точке.
