Нечего и говорить, что границы множества Мандельброта — это не обычная кривая, подобная дуге окружности или даже какой-нибудь фантастически изогнутой линии. На самом деле это вообще не одномерная кривая. Однако она и не двумерна, потому что не покрывает никакого целого сегмента двумерной плоскости. Она простирается подобно клочковатому облаку. Если такой кривой потребуется присвоить размерность, та должна быть неким числом, находящимся между единицей и двойкой. Такая «дробная» (от англ. fraction — «дробь») размерность и побудила Мандельброта назвать множества этого типа фракталами
[85].
В интернете можно найти множество изображений этих замечательных объектов, а также программ для их создания, и я горячо рекомендую читателю их исследовать. Хотя генераторам фракталов требуется всего несколько параметров, они создают необычайное богатство форм. Одно из представлений фрактала мы видели на илл. 8, а еще два показаны на илл. 19. Они созданы самым простым из возможных способов, с использованием только лишь фрактального генератора неспециализированного графического редактора Photoshop. При помощи генераторов фракталов можно обогащать изображения, делая их еще более зрелищными и выявляя скрытые в них регулярности и симметрии.
Илл. 19. Фракталы, сгенерированные в программе Photoshop
(Автор изображения — Вера Мерё)
Масштабная инвариантность как закон природы
Мандельброт обнаружил, что графики поведения финансовых рынков имеют многие из свойств фрактальных кривых. Это обстоятельство позволило ответить на вопрос о возможности определения масштаба графиков финансового рынка. Если они фрактальны и, следовательно, самоподобны во всех масштабах, это означает, что специалисты по финансам не упускали из виду какой-нибудь тонкости, которая позволила бы им определять масштаб таких графиков. Если графики действительно самоподобны, для этого попросту не существует даже теоретической возможности. По-видимому, финансовые рынки масштабно-инвариантны по самой своей природе.
Параметры фрактала определяют ход его развития при генерировании — так же как начальное состояние двойного маятника определяет его траекторию. В случае маятника мы видели, что малые изменения параметров порождают гигантские различия в траектории. Происходит ли то же самое с фракталами? Насколько чувствительно их развитие к начальным условиям? Как мы увидим дальше, ответ на этот вопрос — «чрезвычайно чувствительно».
Хотя исходно Мандельброт разработал концепцию фракталов для моделирования поведения финансовых рынков, вскоре он начал подозревать, что фракталы могут быть в природе не исключением, а правилом. Например, береговые линии образуют зигзаги произвольной формы, весьма напоминающие кривую средних значений индекса Доу — Джонса за прошлую неделю; иногда от них отходят острова, похожие на клочковатые облака. На расстоянии их изрезанные контуры кажутся четко определенными, но чем больше мы к ним приближаемся, тем виднее становятся все более многочисленные замысловатые извивы, и в конце концов исчезает почти всякая возможность сказать, находится ли та или иная конкретная точка — камешек или песчинка — в море или на берегу. На самом деле береговые линии так же фрактальны, как границы множества Мандельброта.
Первые мысли Мандельброта о фракталах были изложены в его статье 1967 года под названием «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность» (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)
[86]. В ней он описывает так называемый «парадокс береговой линии» — тот факт, что результат измерения длины береговой линии становится тем больше, чем более короткая линейка используется для измерений, потому что такая линейка позволяет измерить большее количество изгибов и зигзагов. Разумеется, к сходному выводу можно прийти, даже измеряя длину простой дуги окружности, но там увеличение измеренной длины с уменьшением длины линейки имеет фиксированный предел, который мы и называем длиной дуги. То же справедливо и в отношении других обычных кривых, но не фрактальных линий, длина которых расходится до бесконечности. В той мере, в какой береговая линия подобна фракталу, она содержит, по существу, бесконечное количество отрезков, доступных измерению, — и больших, и малых. Мандельброт показал, что ни точно определить береговую линию Великобритании, ни точно измерить ее длину невозможно. У нее нет длины — так же, как у распределения Коши, что показала нам наша подруга Фиби, нет стандартного отклонения. Таким образом, фракталы, как и распределение Коши, приводят нас в Диконию.
Это явление настолько вдохновило Мандельброта, что он начал коллекционировать примеры фрактальных явлений в природе. При этом он обнаружил: стоит понять, что именно ты ищешь, и ты встречаешь это практически повсюду. Как мы уже видели, листья папоротника похожи на фракталы; то же можно сказать о разветвленных системах кротовых туннелей. Подобны фракталам и горные вершины, и снежинки, и облака, и границы норвежских фьордов. Даже человеческий мозг можно считать сложным фракталом. По итогам всех этих наблюдений в 1983 году Мандельброт опубликовал книгу под названием «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature).
Фракталы заинтересовали и психологов. Они провели исследования, чтобы выяснить, какого рода изображения (пейзажи и абстрактные картины) кажутся нам красивыми, и один из неизменных результатов этих исследований сводился к тому, что нас привлекают изображения, подобные фракталам
[87]. Возможно, это связано вот с чем: мы настолько окружены фракталами, что эти изображения кажутся нам более знакомыми, чем фигуры более традиционной геометрии. Удивительно, что психологам понадобилось столько времени на открытие этого факта — ведь фракталы буквально на каждом шагу!
Изображения фрактального типа — подобные упомянутому выше «треугольнику Серпинского» — мозаике VII века — существуют в искусстве издавна. Можно еще упомянуть «пламенеющие» арки и ажурные переплетения готической архитектуры, в которых, как и во многих произведениях современной живописи, в некоторой мере проявляется самоподобие. Однако за годы, прошедшие с тех пор, как программы для генерирования фракталов стали широко доступны, появился целый новый жанр изобразительного искусства, в котором фракталы используются осознанно. На илл. 20 изображена «оболочка Мандельброта» (Mandelbulb), созданная Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером на основе трехмерного варианта множества Мандельброта.
