Илл. 20. Оболочка Мандельброта
(Авторы изображения — Дэниел Уайт и Пол Ниландер)
Фракталы активно используются современными художниками, работающими в области компьютерной графики. Каждый холм и каждое облако в вашей любимой видеоигре построены алгоритмом генерирования фракталов, создающим реалистичные изображения. Самоподобие встречается даже в литературе: последний, связывающий, сонет (магистрал) в классическом венке состоит из первых стихов предыдущих четырнадцати сонетов. В музыке существует фуга, в которой самоподобие выражается в повторяющемся возникновении одной и той же темы. В ней же есть и масштабная инвариантность, проявляющаяся в увеличении и уменьшении, когда тема воспроизводится с большей (увеличенной) или с меньшей (уменьшенной) длительностью нот, в сжатии (стретто), когда голос, имитирующий тему, вступает еще до того, как завершился предыдущий, и в инверсии, когда тема повторяется в зеркальном отражении.
Самоподобие может приносить огромную пользу инженерам, потому что одна и та же конструкция может быть использована для изготовления механизма, выполняющего некую функцию на всех возможных масштабах. Однако тут сразу же возникают трудности, например, в связи с тем, что при увеличении размеров абсолютно одинаковых трехмерных объектов отношение их объема к площади поверхности не остается неизменным. Это может вызвать нарушения структурной или термодинамической устойчивости. С другой стороны, природа ничего не конструирует. Она просто лепит наугад, и выживает то, что выживает.
Если бы мы открыли закон, из которого следовало бы, что все на свете стремится к достижению максимальной масштабной инвариантности, это было бы большим шагом к пониманию того, как в природном мире возникают структуры невероятной сложности. Из этого вытекало бы, что вещи становятся масштабно-инвариантными не из-за некоего конкретного конструктивного принципа, определенного именно их собственной историей, но в соответствии со всеобщим законом. Если бы такой, ранее не известный, всеобщий руководящий принцип был найден, честь его открытия можно было бы приписать Мандельброту. Но если такой принцип и существует, мы знаем очень мало о механизме его работы и еще менее способны определить область его применимости.
Масштабно-инвариантный хаос
Хаос и масштабная инвариантность неразлучны. Единственное очевидное и тривиальное исключение из этого правила составляет отрезок прямой. Все остальные масштабно-инвариантные объекты обладают всеми тремя характеристиками хаоса, сформулированными в предыдущей главе:
1. Система должна быть определена малым числом переменных. Например, множество Мандельброта определяется очень простым уравнением с одной-единственной комплексной переменной, и даже оболочка Мандельброта, изображенная на илл. 20, определяется всего тремя переменными. Если мы используем элемент случайности для увеличения богатства формы, это добавляет всего одну дополнительную переменную. Более сложные фракталы определяются бо́льшим числом уравнений, но это число обычно находится в промежутке от пяти до десяти. Однако даже фракталы, созданные с использованием гораздо большего количества переменных, могут проявлять хаотическое поведение, как мы видели на примере человеческого мозга: он создается из тысяч генов и проявляет хаотические черты.
2. Система должна быть чрезвычайно чувствительна к малым изменениям начального состояния. В случае фракталов начальное состояние выражается уравнениями, определяющими фрактал. И действительно, малейшие изменения параметров этих уравнений изменяют вид фрактала самым радикальным образом.
3. В какой-то момент своего развития хаотическая система должна оказываться сколь угодно близко ко всем состояниям, которых она теоретически может достичь. В той области плоскости или трехмерного (или многомерного) пространства, в которой фрактал определен, он плотен в том же смысле, в котором плотно облако: он не заполняет все точки, как твердое тело, но приближается ко всем точкам своей области определения. Любые точки этой области, не принадлежащие фракталу, сколь угодно близки к точкам, которые ему принадлежат.
Свойственна фракталам и непредсказуемость хаоса. Если взять случайную точку на плоскости и спросить, принадлежит ли она данному фракталу, не существует универсального способа найти ответ на этот вопрос. В это, может быть, трудно поверить, так как фрактал определяется несколькими уравнениями и теоретически мы должны быть способны определить, принадлежит ли та или иная точка множеству их решений. Но Гёдель говорит: если окажется, что нам это не под силу, ничего удивительного в этом не будет. В случае двойного маятника мы можем проследить его траекторию исходя из начального состояния, и если эта траектория пройдет через нашу случайно выбранную точку, то мы сможем заключить, что точка действительно лежит на траектории. Но если маятник не пройдет через эту точку, мы никак не можем предсказать, пройдет ли он через нее когда-нибудь в дальнейшем.
То же справедливо и в отношении фракталов: единственный способ определить, принадлежит ли та или иная точка данному фракталу — это продолжать решение соответствующих уравнений на компьютере. Если компьютер нарисует именно ту точку, которую мы выбрали, то можно быть уверенным, что она принадлежит фракталу. Но до того, как это случится, мы не будем иметь никакого понятия, случится ли это когда-нибудь. Следовательно, если точка все же не принадлежит фракталу, мы никогда об этом не узнаем, как бы долго ни работал наш компьютер.
Хотя все фракталы хаотичны, не всякое хаотическое явление имеет фрактальную структуру. Например, траектория двойного маятника хаотична, но фракталом не является. Однако верно, что фракталы — это наиболее часто встречающиеся проявления хаоса в природе. Иными словами, хаос обычно проявляется в природе в масштабно-инвариантном виде. Разумеется, в этом не было бы ничего удивительного, если бы оказалось, что Мандельброт на самом деле выявил некий доселе неизвестный принцип, справедливый в очень широком диапазоне условий. Масштабная инвариантность может быть тем способом, который дает природе возможность экономичного построения объектов с чрезвычайно богатой структурой. Также может быть, что масштабная инвариантность — это реальное проявление свойственной природе нетерпимости к пустоте. За исключением тривиального случая отрезка прямой, масштабная инвариантность автоматически порождает хаос, а хаос, как мы видели в предыдущей главе, не терпит пустоты — в том смысле, что он плотно заполняет всю свою область определения. На нашем нынешнем уровне знаний все это — лишь умозрительные догадки, но мы точно знаем одно: масштабная инвариантность и сопутствующий ей хаос встречаются в природе повсеместно.
Безмасштабные сети
Хотя самоподобие интересовало Мандельброта в первую очередь как геометрическое явление, масштабная инвариантность оказалась концепцией гораздо более общего толка. Одним из наиболее плодотворных ее приложений стало открытие безмасштабных сетей, которые прославил во всем мире американский физик венгерского происхождения Альберт Ласло Барабаши в своем бестселлере «Связанное» (Linked).
