С точки зрения математиков и физиков, сеть есть структура, состоящая из набора узлов (вершин), некоторые — но не обязательно все — из которых соединены между собою ребрами. Сети могут служить представлением самых разных взаимоотношений. Например, чтобы проиллюстрировать личные отношения в некой группе людей, можно изобразить каждого человека в виде вершины, а наличие ребра, соединяющего две вершины, будет показывать, что эти люди знакомы друг с другом. Нейроны мозга также образуют сеть; некоторые из них соединены друг с другом, другие — нет. Еще одну сеть — так называемый веб-граф — образуют интернет-страницы. Две страницы соединены ребром, если одна из них содержит ссылку на другую. Также можно построить сеть научно-исследовательских публикаций, в которой связи между узлами будут изображать цитирование одной работы в другой. Авиационные маршруты тоже образуют сеть; ее узлы — города, и между двумя городами существует ребро, если эти города соединены беспересадочными рейсами. Важное открытие, сделанное Барабаши и группой его коллег, состояло в том, что сети, встречающиеся в природе, как и социальные сети, по большей части масштабно-инвариантны, так же как по большей части масштабно-инвариантны природные хаотические системы.
Некоторые сети обладают определенной асимметрией. Например, если в сети научных статей в статье В цитируется статья А, то, по всей вероятности, в статье А не цитируется статья В (поскольку статью В, в общем случае, должны были опубликовать после статьи А). Следовательно, ребро, соединяющее узлы А и В, имеет направление. Такие сети называют ориентированными, а их ребра и узлы могут быть входящими или исходящими. Аналогичным образом в сети авиационных маршрутов может существовать прямой рейс из Алтуны в Поттсвиль, а вот прямого рейса из Поттсвиля в Алтуну может и не быть: тогда в сети есть ребро, идущее из вершины Алтуны к вершине Поттсвиля, но нет ребра, идущего в противоположном направлении.
Масштабная инвариантность сетей похожа на масштабную инвариантность геометрических фигур: любая часть сети выглядит более или менее похожей на другую, подсети выглядят как целая сеть, а подподсети — как те подсети, в которых они находятся, так что сказать, в каком масштабе мы рассматриваем сеть, невозможно. При рассмотрении сетей в другом масштабе, в котором узлами становятся не отдельные люди, а города и страны, ее внешний вид изменяется незначительно.
Безмасштабные сети обладают интересными свойствами, которые не обнаруживаются в большинстве других сетей. Например, безмасштабные сети отличаются весьма высокой плотностью в следующем смысле: до каждой пары узлов можно добраться по сравнительно короткому маршруту. Скажем, по имеющимся оценкам считается, что любых двух человек на Земле можно соединить цепочкой из шести или менее знакомых. Интернет также образует очень большую сеть, а именно сеть ориентированную; на каждых двух человек на Земле в нем приходится приблизительно по одной странице. Также и в этом случае почти до любой страницы можно добраться с любой другой страницы не более чем за двадцать переходов по ссылкам. Разумеется, могут существовать как маленькие группы людей, не имеющих знакомых вне своей группы, так и страницы, на которые не ведут никакие входящие ссылки. Хотя до таких «островков» действительно невозможно добраться извне, сказанное выше относительно связности справедливо для подавляющего большинства страниц в интернете.
Другая особенность безмасштабных сетей состоит в том, что по сравнению с сетями «нормальными» они содержат относительно большое число узлов, количество входящих и исходящих соединений в них намного превышает среднее, а большинство их узлов имеют сравнительно мало соединений. Именно через такие «концентраторы», наделенные множеством связей, в безмасштабной сети передается бо́льшая часть информации. Если мы хотим распространить какую-либо информацию по безмасштабной сети, прежде всего следует найти один из «концентраторов». В социальных науках их обычно называют «лидерами мнений», или «неформальными лидерами». У некоторых приматов эту роль часто играют старые самки, в обязанности которых входит так называемый «груминг» (вычесывание паразитов) всей группы; переходя от одного члена группы к другому, они распространяют информацию. В человеческих обществах похожую функцию может выполнять почтальон или парикмахер
[88].
Особенно интересный случай безмасштабной сети представляет собой одна из возможных моделей того, как мы ищем потерянные предметы. Как правило, мы тщательно обыскиваем какой-нибудь определенный участок, перемещаясь при этом очень мелкими шажками. Но через некоторое время мы внезапно уходим из этой точки и начинаем искать совершенно в другом месте, вокруг которого также начинаем передвигаться мелкими шагами. Если нарисовать сеть, узлами которой будут точки, около которых мы ищем, а ребрами — наши переходы между этими точками, мы получим безмасштабную сеть, которую называют «полетом Леви» по имени ее первооткрывателя, французского математика Поля Леви
[89].
Предположим, что мы ищем очки или сотовый телефон (хотя на сотовый по меньшей мере можно позвонить, если под рукой есть другой телефон. Сколько раз я жалел, что у моих очков нет телефонного номера!). Если позвонить невозможно, мы ищем телефон тем самым образом, который описал Леви. Безмасштабные полеты Леви применяют также пчелы и альбатросы, олени и ласточки, когда занимаются поисками пищи и, возможно, материалов для строительства гнезда.
Поль Леви описал этот поисковый алгоритм еще в 1930-х годах и доказал, что при некоторых условиях он соответствует оптимальному методу поиска. Дело в том, что эта стратегия минимизирует вероятность повторного осмотра уже пройденных участков и в то же время максимизирует число осматриваемых участков. Таким образом Леви доказал, что масштабная инвариантность может обладать теоретическими и даже практическими преимуществами. Он, правда, не называл это свойство масштабной инвариантностью или самоподобием, потому что в то время эти концепции еще не были открыты. Он просто выявил существование чрезвычайно особого параметра, который к тому же играет фундаментальную роль в науке Диконии.
Мыслительный процесс Леви весьма впечатлил Джона фон Неймана. Мандельброт пишет: «Джон фон Нейман, бывший позднее моим учителем, говорил мне: „Думаю, что теперь я понимаю, как работают все другие математики, но Леви похож на гостя с чужой планеты. Кажется, у него свои, глубоко личные способы постигать истину, и мне от этого становится неуютно“». Что же касается Леви, Мандельброт добавляет: «Впоследствии, когда я рассказал Леви, как развил его идеи и применил их к экономике, он был ошеломлен и, кажется, раздосадован. Он считал, что „настоящие“ математики просто не должны заниматься столь прозаическими вещами, как изучение доходов или цен на хлопок»
[90].
Элементы, породившие Диконию
Леви проложил путь в царство безмасштабных сетей, решив чисто математическую задачу, но прошло еще целых полвека, прежде чем эта концепция попала в мир естественно-научных исследований. Одна из интересных особенностей безмасштабных сетей состоит в том, что нам довольно хорошо понятен механизм их самопроизвольного возникновения. Альберт Ласло Барабаши и Река Альберт разработали для иллюстрации этого принципа чрезвычайно простую и изящную математическую модель и проверили ее на самых разных сетях реального мира, в том числе на сети голливудских актеров, связанных совместной работой в одних и тех же фильмах, на некоторых частях Всемирной паутины и на сети электроснабжения Соединенных Штатов. В каждом из этих случаев сети следовали предсказаниям их модели с весьма высокой точностью
[91].
