Даже высокообразованные люди, принимающие решения о судьбе больших денежных сумм, подвержены этому искажению. Как таковых отличий нет: разница между 1 и 2 и между 81 и 82 одна и та же – единица. Разница между расстояниями в 1 и 2 мили и в 1001 и 1002 мили одинакова, на покрытие этой разницы в обоих случаях уйдет одинаковое количество бензина. Люди и другие живые существа имеют быструю и удобную, обширную и полезную систему для отслеживания и сравнения количеств, не основанную на формальных значениях как таковых. В отличие от отношения к числам, индифферентным к своим местам на числовой прямой, система приблизительных количеств дает искажения, приписывая относительно более высокий вес меньшим количествам, нежели большим.
Возникает серьезный вопрос, не иррационально ли это. Если да, то почему эволюция этого не исправила? Бесспорно потому, что это быстрый, полезный, удобный промах. Данное искажение, как и многие другие, может устранить – но не всегда – культурная эволюция, медленное развитие систем измерения, подсчета и вычисления.
Система точных чисел
Эволюция не выправила искажений системы приблизительных количеств, но это по силам системе точных чисел. Числа индифферентны к своему местоположению на числовой прямой. В бюджете каждый доллар учитывается одинаково. При строительстве моста каждый метр учитывается одинаково. Система точных чисел необходима для счета, арифметики, математики, инженерных разработок, естественных и гуманитарных наук, искусств и бесчисленного множества культурных явлений, норм, законов, традиций, нововведений и открытий, нуждающихся в точных расчетах. Без системы счета и, что важно, системы записи почти ничего необходимого нам в повседневной жизни не существовало бы. Однако человечество многие тысячелетия обходилось без системы точных чисел, и во многих изолированных районах не знают ее до сих пор: там могут прикинуть, но не вычислить.
Система точных чисел – продукт культуры. В противоположность системе приблизительных количеств ее приходится изучать в школе и дома. Даже простейшая математическая задача – счет – требует репрезентации чисел, обычно словами. Удивительно, что сегодня существуют племена, в языках которых нет соответствующих слов. Одно из этих племен, пираха, живет изолированно в Амазонии. В языке племени отсутствует даже слово «один». Тем не менее пираха способны сравнить размеры двух групп вещей, отличающихся только на один объект, если выложить эти вещи рядами, чтобы было легко выполнить соотнесение один к одному. Иначе говоря, они понимают соответствие один к одному, хотя не умеют считать. Однако, если сравнение нужно сделать по памяти или если объекты не выложены рядами, результаты резко ухудшаются. Задачу уже нельзя решить соотнесением один к одному: нужно считать.
Другая группа туземцев Амазонии, мундуруку, имеет слова для обозначения чисел до пяти. Этот народ блестяще справляется с приблизительными оценками, но его представители не могут точно посчитать.
Столь же поразительны различия нейрональных субстратов систем приблизительных количеств и точных чисел. Пациенты с повреждением мозга могут лишиться одной из систем, сохранив другую. В неповрежденном мозге эти две системы взаимодействуют и кооперируются. Будучи разделены эволюционно и в мозге, они стали интегрированными. Дети, лучше прикидывающие количества, оказались более успешными в математике. Более того, тренировка способности к приблизительным вычислениям повышает и результативность использования системы точных чисел.
Развитие системы точных чисел критически зависит от развития внешней по отношению к уму видимой системы обозначений, которой ум может пользоваться. Многие культуры по всему миру создали развитые системы обозначений для счета или вычислений с использованием, скажем, зарубок на камне или костей, узлов и камешков. Calculus в переводе с латыни – «галька». В ряде культур использовалось тело, особенно суставы пальцев, как инструмент не только счета, но и вычисления. Ладони оказались первыми вычислительными линейками, пусть они и не позволяли извлекать квадратные корни. Во многих языках части тела стали названиями чисел, которые они представляли. Латинское digitus – «палец». Многие из нас по-прежнему используют для счета пальцы – несмотря на повсеместное распространение бумаги и калькуляторов. Тела может быть достаточно для некоторых подсчетов, но оно не позволяет сохранять их запись. Узлы и зарубки оставляют запись, но это неуклюжий способ числового представления, еще более неудобный при расчетах. Символы для чисел вроде тех, что известны даже дошкольникам в образованных обществах, более эффективны, но для вычислений нужна более развитая система обозначений.
Развитию системы числовых обозначений и, соответственно, письма у шумеров, живших в Месопотамии в IV тыс. до н. э., способствовал бухгалтерский учет. Регистрация численности овец, коров и прочего имущества граждан была необходима для налогообложения, а налогообложение требовалось для организованного общества.
Сегодня каждый школьник знает знаки «+», «–» и цифры, даже нуль, но всего 2000 лет назад они почти не были известны. Наша нынешняя система обозначений развивалась тысячи лет и не раз заходила в тупик. Показателен в этом отношении нуль. Египтяне, греки, римляне и китайцы и без него построили величественные сооружения. У майя был символ для нуля, но он не вышел за пределы Центральной Америки. Похоже, не обошлось без нуля и в Ангкор-Вате, датируемом VII в.; впрочем, он также не получил распространения. Представляется, что нуль, хоть и медленно, стал приживаться после того, как был заимствован из Индии и начал использоваться в записях арабских торговцев IX в. Его принес в Европу в XIII столетии Фибоначчи, разрабатывавший – вы наверняка догадались – теорию чисел.
Математические расчеты и измерения начинаются с тела и окружающего мира. Использование ладоней для измерения лошадей и стоп для землемерных работ очевидно из их названий
[49]. Простой акт счета – это последовательность действий: указывание на каждый объект по очереди или сдвигание его в сторону, когда он сосчитан. Действия эти устанавливают соответствие один к одному между объектами и названиями чисел. Системы обозначения позволяют проводить вычисления в отсутствие объектов. Подобно языку и графике, системы обозначения – в данном случае чисел – освобождают нас от «здесь и сейчас». Система обозначения, постепенно принятая во всем мире, является по своей природе схематической и пространственной. Значение числа определяется положениями, которые в его последовательности занимают цифры: 56 и 65 – не одно и то же. Цифра, стоящая слева, умножена на десять, так что 56 есть пять десятков и шесть единиц. Для выполнения арифметических действий нужно правильно выровнять вертикальные столбцы и начать расчеты с крайнего правого столбца при сложении, вычитании и умножении и с крайнего левого – при делении. Эти действия и системы обозначения являются в своей основе пространственными, и мозг уже это знает.
Границы: другой тип линий
Как и многие другие полезные слова и значки, слово «линия» имеет много смыслов. Одно из них, сохраняющее огромное значение в истории и политике, – граница, предел. Оспариваемые границы между странами, линия на песке, метафорическая красная линия – ее пересечения не потерпят (а может, она этого не потерпит). Однако границы могут быть и местами, где происходят различные встречи и взаимодействия. Пересечение границ научных дисциплин порождает междисциплинарные исследования. Пересечение кулинарных – создает шедевры кухни фьюжн. Пересечение границ подвидов может обернуться выигрышем в форме гибридной силы.
