Вавилоняне около 2000 г. до н. э., затем китайцы примерно на рубеже эр, следом майя в III–V вв. независимо изобрели удачные системы репрезентации чисел и использования пространственной позиции для расчетов. В счетах-абаках и счетных досках пространственная позиция составляет основу. Зачатки современной системы, использующей десять символов и пространственную позицию для единиц, десятков, сотен и т. д., были разработаны в Индии примерно в V столетии и принесены в Европу к XIII в. Символы арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления – возникли на несколько веков позже.
Перемещение счета из ума в мир сначала позволило выполнять подсчеты и хранить их результаты. Оказавшись в мире, счет стал инструментом мышления, и – как со многими другими когнитивными инструментами – с ним оказалось возможным работать, конструировать его и перестраивать. Эти блестящие изобретения – символы и пространственная позиция, – кажущиеся нам сейчас самоочевидными, обусловились целыми поколениями взаимодействий между разумом и страницей, сериями проб и ошибок, компромиссов, поворотов не туда и заходов в тупик. Трудно переоценить важность взаимодействий между разумом и построениями в мире. Эти взаимодействия зависят от помещения математики на виртуальную постоянную страницу – абак или счетную доску, – чтобы было, на что смотреть, что осознавать и реорганизовывать. Мысленной математики, руки и тела оказалось недостаточно. Вынесение счета и вычислений из ума в мир, помещение символов на пространственные позиции на странице в свою очередь сделало возможными сложные изменения в обществе, сельском хозяйстве, инженерном деле, науке и математике.
Математика считается самым абстрактным способом как мышления, так и репрезентации мышления. Она функционирует благодаря символам и месту в пространстве. Лэнди и Голдстоун указали на это в названии одной из своих статей: «Формальные системы обозначений – это схемы». Они обнаружили, что люди используют распределение в пространстве, даже если этого не требуется – в качестве основной идеи для группировки при решении алгебраических задач. По словам Лэнди и Голдстоуна, «алгебра – это повествование об объектах, движущихся в пространстве. Доказательства рассказывают историю об этих объектах». Математические доказательства – это истории. Надо же!
Математические схемы и культура
Совершим небольшой экскурс в сторону культурных различий в математических схемах. Азиатский уличный пейзаж расценивается более сложным, нежели западный, как западными наблюдателями, так и восточными. Случайно или нет, азиатские общества сильнее пронизаны взаимозависимостями, социально сложнее, чем индивидуалистические западные общества. Мы заинтересовались, а не проявляется ли наблюдающаяся в Азии тенденция к большей сложности также и в схемах, конкретно – в математических схемах. Мы взяли первые десять схем для каждой из четырех арифметических операций – сложения, вычитания, умножения и деления, – введя эти термины в Google Images и Baidu Images (основной китайский браузер). Мы убрали из изображений все слова и предложили оценить схемы американцам европейского происхождения и китайцам. Исследование было проведено дважды с интервалом в несколько лет. Обе группы сочли китайские арифметические схемы более сложными. Нельзя не задуматься – а не позволяет ли сложность уличной ситуации или социальных и семейных отношений лучше понимать сложность в других сферах?
Как было сказано, математические обозначения резко контрастируют с другим древним когнитивным инструментом – картами. Карты превращают большие пространства в маленькие, ужимая расстояние и направление реального мира до расстояния и направления на странице. Происходит прямое отображение одного пространства на другое. Иначе обстоит дело с математическими обозначениями. В математике использование места в пространстве для кодирования величины в единицах, десятках, сотнях и т. д. является намного более опосредованным и символическим действием. Ни метки – символы цифр, ни пространственные отношения не имеют сходства ни с чем релевантным в мире. Насечки бирок его имеют, хотя и абстрактное: чем больше предметов, тем больше меток, один к одному. Однако в форме цифры 9 нет ничего указывающего, что она представляет значение на 3 больше, чем 6. Пространство карты отражает пространство мира, хотя иногда искаженное. Пространство в математике – столбцы, которые нужно правильно выровнять по вертикали, решая арифметические задачи, – упорядочено согласно возрастанию справа налево и представляет отношения в чисто концептуальном мире плюс сложное картирование в нем. Бирки обеспечивают высокое соответствие в плане количества, один к одному, но очень неудобны для использования в расчетах. В математических обозначениях два принципа конфликтуют, и Принцип использования перевешивает Принцип соответствия.
Математические обозначения были и остаются чрезвычайно важными во всех аспектах повседневной жизни. Как вы помните из главы 7, люди, подобно многим другим животным, владеют системой приблизительных количеств, позволяющей интуитивные оценки и сравнения в случаях, когда оба комплекса объектов можно видеть. Однако эта система является не только примерной, но и логарифмической, т. е. в ней одна и та же разница между малыми числами более весома, чем между большими. Это относится к суждениям не только о количестве, но и о яркости, громкости и многом другом. Исправить подобные ошибки можно с помощью системы точных чисел, позволяющей измерять и вычислять. До сих пор существуют культуры, не знающие числа, да и современной культуре потребовались столетия, чтобы создать изощренную систему, сегодня доступную даже школьникам. Удивительно, что эволюция не уничтожила широко распространенных систематических ошибок оценочной системы человеческого ума. Без сомнения, система приблизительных количеств была полезна нам как-то иначе. К добру или к худу – истина всегда такова – это не единственные систематические ошибки ума человека. Некоторые, но никоим образом не все, можно исправить или уменьшить при помощи измерений и вычислений.
Система обозначений: логика и физика
Как много всего мне не пришлось даже упомянуть! Потрясающие достижения систем обозначений в сферах математики, логики, физики, химии, статистики и многих других. Геометрию, смешанную систему: отчасти буквально пространственную, отчасти абстрактно пространственную, отчасти символическую. Интересно, что для Евклида доказательства имели вид схем, текст лишь озаглавливал их. К сожалению, оригинальные схемы были утрачены.
Одним из инструментов логики являются диаграммы Эйлера – круги, представляющие множества вещей, где пересекающиеся круги обозначают пересекающиеся множества, отдельные – отдельные, непересекающиеся множества, а включенные друг в друга – включения. Даже слова совпадают. Подумайте, сколько выводов можно сделать из простой диаграммы Эйлера на рис. 8.7. Каждый круг представляет множество каких-то сущностей, например художников и поэтов. Частичное наложение, которое называется пересечением двух множеств, указывает на тех, кто является одновременно и художником, и поэтом. Вне кругов находятся все, кто не относится ни к тем ни к другим.
Из этой диаграммы напрашивается несколько выводов: некоторые художники – поэты, некоторые поэты – художники, некоторые художники не поэты, не все поэты художники и т. д. Такие отношения из диаграммы очевидны. Она делает наглядными безжизненные формулировки, и их несравненно легче воспринимать, чем словесные утверждения. Есть множество надежных свидетельств, что люди могут строить пространственные мысленные модели на основании ясных (правильно составленных!) текстов, но это требует времени и усилий. Диаграммы Эйлера экономят силы.
