Ошибка, в которую впал Ньютон, разрешая задачу путем отбрасывания существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник которой обнаружил Лагранж в своем новейшем ее рассмотрении (Théorie des fonct. analyt., 3-me р., ch. IV), доказывает, что употребление этого орудия еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж показывает, что Ньютон впал в свою ошибку вследствие того, что он пренебрегал членом ряда, содержащим ту степень, которая была важна для данной задачи. Ньютон придерживался формального, поверхностного принципа отбрасывания членов ввиду их относительной малости. А именно известно, что в механике членам ряда, в который разлагается функция какого-нибудь движения, придается определенное значение, так что первый член или первая функция относится к моменту скорости, вторая – к силе ускорения, а третья – к сопротивлению сил. Поэтому члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого целостного понятия. Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих дурно бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на основании их относительной малости
[60]. Разрешение проблемы, данное Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены ряда лишь как части некоторой суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий то качественное определение, в котором было все дело.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость прием. В связи с этим мы можем тотчас же выставить общее утверждение, что все затруднение касательно самого принципа было бы устранено, если бы вместо формализма, состоящего в том, что определение дифференциала усматривают лишь в дающей ему это имя задаче, т. е. в различии вообще некоторой функции от ее изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое приращение, – если бы вместо этого формализма было указано качественное значение принципа и действие было бы поставлено в зависимость от этого качественного значения. В этом смысле дифференциал от xn оказывается вполне исчерпанным первым членом ряда, получающегося путем разложения выражения (x + dx)n. Что прочие члены не принимаются во внимание, проистекает, таким образом, не из их относительной малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или ошибки, которая бы выравнивалась и исправлялась другой ошибкой, – взгляд, исходя преимущественно из которого Карно оправдывает обычный метод исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о некоторой сумме, а о некотором отношении, то дифференциал оказывается вполне найденным посредством первого члена; там же, где есть нужда в дальнейших членах, в дифференциалах высших порядков, их нахождение состоит не в продолжении ряда, как суммы, а в повторении одного и того же отношения, которое единственно имеют в виду и которое, стало быть, завершено уже в первом члене. Потребность в форме некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса к отношению.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, представляют собою наиболее очищенное и ясное изложение того, что нам встретилось в вышеуказанных представлениях. Но при переходе к самим действиям у него более или менее появляются обычные представления о бесконечной малости отбрасываемых членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод скорее тем, что результаты оказываются правильными, и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких уравнений, в которых совершается такое арифметически неправильное отбрасывание), для упрощения и сокращения исчисления, чем самой природой вещи.
Лагранж, как известно, снова возвратился к первоначальному методу Ньютона, к методу рядов, дабы быть свободным от трудностей, которые влечет за собою представление о бесконечно малом, равно как и метод первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы должны отметить как касающееся занимающего нас вопроса лишь то, что оно покоится на той основной теореме, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, чтобы каждый член ряда превосходил по своей величине сумму всех следующих за ним членов. При этом методе также начинают с категорий приращения и разности (по сравнению с первоначальной функцией) той функции, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление скучного ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть отброшены, принимаются в соображение лишь с той стороны, что они составляют некоторую сумму, и основанием, почему они отбрасываются, полагается относительность их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится в общем виде к той точке зрения, которая отчасти встречается в некоторых приложениях, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; отчасти же само отбрасывание отпадает в той существенной точке зрения, которая определенно выступает относительно так называемых дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом приложении дифференциального исчисления у Лагранжа, что мы разъясним подробнее в следующем примечании.
