Хотя гипотеза Смейла не подтвердилась, она дала новое направление его исследованиям сложных динамических систем. Некоторые математики по-новому оценили возможности осциллятора Ван дер Поля, и теперь Смейл приложил их выводы к неизвестной области. Единственным его осциллографом был его собственный мозг, но этот мозг довели до совершенства годы изучения топологической вселенной. Смейл досконально разобрался в пространстве всех возможных состояний осциллятора – пользуясь физическими терминами, в фазовом пространстве. Любое состояние системы, зафиксированное в определенный момент времени, описывается одной точкой фазового пространства. Все данные о положении или скорости системы содержатся в координатах указанной точки. Если состояние системы изменится, точка передвинется в новое место. Поскольку состояние меняется непрерывно, точка вычерчивает траекторию.
Фазовое пространство простой системы вроде маятника – это просто прямоугольник на плоскости. Угол отклонения маятника в заданный момент времени определяет положение точки на оси «восток – запад», а его скорость – на оси «север – юг». Для маятника, периодически качающегося взад и вперед, траектория в фазовом пространстве будет петлей, закручивающейся вновь и вновь, по мере того как система раз за разом проходит через те же состояния.
Построение изображений в фазовом пространстве. Традиционные временные ряды (вверху)и траектории в фазовом пространстве (внизу)используются как два вида наглядного отображения одних и тех же данных и визуализации поведения системы в течение длительного периода времени. Первая (слева)система сходится к одной точке фазового пространства, что подразумевает устойчивое равновесие. Вторая периодически повторяет саму себя, образуя циклическую орбиту. Третья обнаруживает периодическое повторение в более сложном, «вальсовом» ритме, демонстрируя цикл с тремя волнами. Четвертая хаотична.
Вместо того чтобы наблюдать за какой-либо одной траекторией, Смейл сосредоточился на том, как преобразуется все фазовое пространство системы в целом, когда та меняется – например при увеличении движущей силы. При этом он сконцентрировал свои размышления на некой геометрической сущности, абстрагировавшись от сути физической. В качестве инструментария Смейл использовал топологические трансформации в фазовом пространстве – преобразования вроде растяжения и сжатия. Иногда эти преобразования несли в себе прямой физический смысл. Так, рассеивание энергии и ее потеря на трение наглядно отображались в виде сжатия очертаний системы в фазовом пространстве, подобно опадающему воздушному шару, сокращаясь в итоге до точки, в которой система окончательно останавливалась. Смейл понял, что для воспроизведения всей сложности поведения осциллятора Ван дер Поля в фазовом пространстве необходимо использовать новый сложный набор трансформаций, и быстро превратил идею о зрительном представлении глобального поведения системы в новую модель. Его изобретение – образ хаоса, овладевший на многие годы умами, – представляло собой структуру, известную как подкова Смейла.
Чтобы представить себе упрощенный вариант подковы Смейла, вообразите прямоугольник, а затем прижмите левую сторону к правой
[93]. Получится вертикальный брусок, который надо дополнительно растянуть по вертикали и согнуть в виде подковы. Подкову нужно встроить в новый прямоугольник и повторить преобразования: сжатие, растяжение и сгибание.
Процедура напоминает механическое замешивание карамели, при котором вращающиеся насадки ловко растягивают сладкую жирную массу, сворачивают ее вдвое, вновь вытягивают, и так снова и снова, пока конфета не приобретет изящную продолговатую форму и сахарные завитки внутри нее не станут повторять друг друга самым причудливым образом
[94]. Смейл создал свою подкову, пройдя несколько стадий топологического преобразования. Отвлекшись от математики, можно отметить, что подкова – точный и зримый образ «сильной зависимости от начальных условий», которую Лоренц откроет в отношении атмосферных явлений несколькими годами позже. Выберите две соседние точки в начальном пространстве – и вы не сможете угадать, где именно они окажутся. Они будут разведены путем сгибания и скручивания пространства. Две точки, которые некогда находились рядом, впоследствии могут оказаться довольно далеко друг от друга.
Подкова Смейла. Такая топологическая трансформация заложила весьма простую основу понимания хаотических свойств динамических систем: пространство растягивается в одном направлении, сжимается в другом, а затем перегибается. При повторении операции образуется нечто вроде структурированного беспорядка, подобного тому, который мы получаем, сворачивая пирожные из слоеного теста. Две точки, оказавшиеся рядом в конце преобразований, вначале могли находиться далеко друг от друга
[95].
Первоначально Смейл надеялся объяснить поведение всех динамических систем в терминах вытягивания и сжатия, но не сгибания, по крайней мере такого, которое сильно подорвало бы устойчивость системы. Однако это преобразование оказалось необходимым и резко изменило динамику
[96]. Подкова Смейла стала первой в ряду новых геометрических форм, благодаря которым математики и физики многое узнали о возможностях движения. В некотором смысле это изобретение оказалось слишком искусственным для прикладных целей и в слишком большой мере изобретением топологии, чтобы вызвать интерес физиков, однако оно стало отправной точкой для дальнейших изысканий. В 1960-е годы Смейл создал в Беркли исследовательскую группу из молодых математиков, разделявших его интерес к изучению динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты их работы удостоились полноценного внимания представителей других, не столь далеких от практики дисциплин. Когда это все же случилось, физики поняли, что Смейл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру, и заговорили о наступлении золотого века науки
[97].
«Происходит самая эпохальная смена парадигм из всех, какие я видел», – так прокомментировал происшедшее Ральф Абрахам, коллега Смейла, впоследствии профессор математики в Калифорнийском университете в Санта-Крузе
[98].
