Йорк решил, что в работах Лоренца и Смейла есть то, о чем физики еще не слышали. Он написал статью для самого популярного научного издания из тех, где ее могли бы опубликовать, – для American MathematicalMonthly. (Будучи математиком, он не сумел облечь свои идеи в ту форму, которую посчитали бы приемлемой физические журналы; лишь много позже он вступил в сотрудничество с физиками.) Работа Йорка сыграла свою роль, однако в конечном счете наибольшее влияние оказал ее интригующий бунтарский заголовок: «Период три рождает хаос»
[123]. Коллеги советовали Йорку выбрать более строгую формулировку, однако он настаивал на слове, которое даст название целой растущей области исследований детерминированной неупорядоченности. А еще он проконсультировался на эту тему со своим другом Робертом Мэем, биологом по специальности.
Как порой случается, Мэй проник в биологию «с черного хода»
[124]. Сын преуспевающего адвоката, он начинал как физик-теоретик в своем родном Сиднее, в Австралии, затем занимался прикладной математикой в Гарварде, будучи постдоком
[125]. В 1971 году его направили на годичную стажировку в Институт перспективных исследований в Принстоне. Здесь-то он, вместо того чтобы заниматься тем, чем ему следовало, обнаружил себя увлеченно беседующим с биологами Принстонского университета.
Даже сейчас биологи стараются по возможности не прибегать к математике. Те же, кто математику любит и имеет к ней склонность, чаще выбирают саму математику или физику, нежели науки о живой природе. Мэй был исключением из правила. Первоначально его интересы лежали в области абстрактных проблем устойчивости и сложности. Он пытался математически обосновать взаимозависимость этих явлений, существующих в противоборстве и неразрывной связи. Однако вскоре Мэй заинтересовался, казалось бы, несложными вопросами экологии, связанными с поведением отдельных популяций во времени. Невероятно простые модели представлялись ему неизбежным компромиссом. К тому времени, когда Мэй окончательно обосновался на одном из факультетов Принстона (в будущем австралиец станет фактически его проректором по науке), он провел уже не один час, изучая варианты логистического разностного уравнения с помощью математического анализа и примитивного карманного калькулятора.
Как-то, еще в Сиднее, он написал на доске в коридоре уравнение, чтобы над ним подумали аспиранты. Однако уравнение зацепило его самого. «Господи, да что же такое происходит, когда лямбда начинает превосходить точку накопления?» – с напряжением размышлял Мэй
[126]. Он пытался уловить, что случается в тот момент, когда коэффициент роста популяции приближается к критической точке и превышает ее. Подставляя различные значения этого нелинейного параметра, Мэй обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего.
Когда задавалось низкое значение параметра, простая модель Мэя демонстрировала устойчивое состояние. При высоком же значении устойчивое состояние терялось и численность популяции начинала колебаться между двумя величинами. Наконец, при чрезмерном увеличении параметра поведение той же системы становилось непредсказуемым. Но почему? Что происходило на границах различных типов ее поведения? Мэй не мог этого понять. (Как, впрочем, и аспиранты.)
Он досконально изучил поведение этого простейшего уравнения, проведя численное исследование с помощью программы, причем она была аналогом программы Смейла: он пытался понять это уравнение целиком – не локально, а глобально. Уравнение было проще всего, что когда-либо изучал Смейл. Казалось невероятным, что возможности такой несложной задачи в генерировании порядка и беспорядка не были изучены вдоль и поперек уже давно. Но они не были. На самом деле программа Мэя стала лишь началом. Он рассмотрел сотни значений параметра, приводя систему в движение и наблюдая, где именно ряд чисел придет к фиксированному значению и случится ли подобное вообще. Он сосредоточивал все больше внимания на рубеже перехода от устойчивого состояния к колебательному. У него словно бы был собственный пруд, где он умело контролировал численность рыб. Используя уравнение xnext = rх (1 – x), Мэй увеличивал значение параметра так медленно, как только мог. Если это значение составляло 2,7, численность популяции равнялась 0,По мере увеличения параметра конечный результат так же медленно увеличивался, образуя на графике кривую, плавно поднимавшуюся слева направо.
Неожиданно, когда значение параметра превысило з, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы перестала быть единой величиной и теперь колебалась между двумя точками. Стартуя с какого-то небольшого значения, она возрастала, а затем начинала колебаться и в итоге приходила к регулярным скачкам вверх и вниз. Небольшой поворот воображаемой рукоятки – небольшое увеличение параметра – еще раз расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших в конечном счете к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года
[127]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в регулярном четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза – сначала с одного года до двух, а затем до четырех. И снова это поведение оказывалось устойчивым: какова бы ни была начальная численность популяции, с течением времени она сходилась к одному и тому же четырехлетнему циклу.
Как Лоренц и открыл десятилетием ранее, построение графика – единственное, что позволяет обнаружить в указанных результатах хоть какой-то смысл и представить их наглядно. Мэй сделал предварительный набросок, чтобы охватить все типы поведения системы при различных параметрах. Для значений параметра, возраставших слева направо, была выбрана горизонтальная ось; для численности популяции отводилась вертикальная. Каждое из значений параметра было представлено точкой, обозначавшей конечный результат после достижения системой равновесия. Слева, там, где значения еще были небольшими, результат являл собой лишь точку. Таким образом, изменения параметра отобразились в виде линии, поднимавшейся плавно слева направо. Когда значение параметра миновало первую критическую точку, Мэю пришлось вычертить кривую для двух популяций, поскольку линия раздвоилась, образовав искривленную букву Y или подобие вилки. Такое расщепление соответствовало переходу популяции от однолетнего цикла к двухлетнему.
