Фрактальный берег. Береговая линия сгенерирована компьютером. Детали случайны, однако фрактальная размерность постоянна, так что шершавости и неровности выглядят все теми же, независимо от степени увеличения.
Геометрия Евклида, оперирующая длинами, ширинами и высотами, не позволяла постичь сущность неправильных форм, и Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности, в которой ученые усматривают гораздо больше, чем обыватели. Мы живем в трехмерном пространстве, и это означает, что для определения положения точки нам надо задать три координаты, например долготу, широту и высоту. Оси трехмерного пространства представляют собой три взаимно перпендикулярные линии, пересекающиеся в начале координат. Это все еще территория евклидовой геометрии, где пространство характеризуется тремя измерениями, плоскость – двумя, прямая – одним, а точка имеет нулевую размерность.
Процесс абстрагирования, позволивший Евклиду постичь одномерные и двумерные объекты, может быть с легкостью применен и к явлениям повседневной жизни
[153]. Так, с практической точки зрения карта дорог являет собой двумерный объект – фрагмент плоскости, в котором для адекватного отображения объекта задействованы два измерения. Безусловно, реальные дороги трехмерны, как и все остальное, однако их высота столь трудноуловима (и в общем-то несущественна для их эксплуатации), что ее можно не учитывать. Заметим, что карта дорог остается двумерной даже тогда, когда ее сворачивают. Так и нить всегда имеет лишь одно измерение, а частица или точка не имеют его вовсе.
А сколько измерений у клубка бечевки? По мнению Мандельброта, ответ на этот вопрос зависит от уровня восприятия. С огромного расстояния клубочек представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен шару и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка, а объект приобретает одно измерение, скрученное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о количестве чисел, необходимых для определения положения точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, нам не нужно ни одного, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех; а подойдя еще ближе, довольствуемся одним, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, вне зависимости от того, вытянута она или смотана в клубок.
Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом деталям, мы обнаружим следующее: бечевка состоит из скрученных трехмерных протяженных объектов, а те, в свою очередь, – из одномерных волокон, вещество которых распадается на частицы с нулевой размерностью. Так Мандельброт, поправ математические традиции, обратился к относительности, заявив: «Представление о том, что численный результат измерений зависит от связи объекта и наблюдателя, вписывается в понятия современной физики и даже является их превосходной иллюстрацией»
[154].
Оставив в стороне философию, мы увидим, что реальные измерения объекта оказываются отличны от трех его привычных параметров. Слабым местом выдвинутых Мандельбротом аргументов стало то, что они основывались на слишком смутных понятиях – «издалека» и «чуть ближе». А что наблюдается в промежутке? Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Однако проблема с отсутствием строгого определения для этих переходов заставила по-новому взглянуть на вопрос о размерности.
Мандельброт двигался от целочисленных размерностей 0, 1, 2, 3··· к тому, что казалось невозможным, – к дробным. Представление о них было столь экстравагантным, что ученым-нематематикам оставалось только принять его на веру. Тем не менее неожиданный подход оказался чрезвычайно перспективным.
Дробная размерность позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или нерегулярности какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробной размерности для объектов окружающей действительности либо исходя из способа построения соответствующих форм, либо исходя из данных. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, что встречаются в природе. Этот закон гласил: степень иррегулярности постоянна при различных масштабах. Справедливость этого постулата на удивление часто подтверждается. Мир снова и снова обнаруживает регулярную иррегулярность.
Однажды зимним днем 1975 года Мандельброт работал над своей первой монографией
[155]. Он знал, что нечто похожее возникает и в физике, и понял, что должен найти некий термин, который стал бы стержнем его геометрии. Одолжив у вернувшегося из школы сына латинский словарь, Мандельброт принялся с интересом перелистывать его. Там он наткнулся на прилагательное fractus, образованное от глагола fragerе – «разбивать». Слово было созвучно английским fracture(«разрыв») и fraction(«дробь»). Так Мандельброт придумал термин fractal («фрактал»), который вошел в современные английский и французский языки.
Фрактал позволяет вообразить бесконечность.
Представьте себе равносторонний треугольник с длиной стороны в один фут. А теперь мысленно проделайте следующую вполне определенную и легко повторяемую трансформацию: выделите на каждой стороне треугольника среднюю треть и приставьте к ней равносторонний треугольник, длина стороны которого составляет одну треть от длины стороны исходной фигуры.
Результатом будет звезда Давида. Она образована уже не тремя отрезками длиной в один фут, а двенадцатью отрезками длиной в четыре дюйма, и вершин у нее не три, а шесть.
Повторите операцию, прикрепив еще меньший треугольник к средней трети каждой из двенадцати сторон. Если проделывать эту процедуру вновь и вновь, число деталей в образуемом контуре будет расти и расти, подобно тому как дробятся отрезки при построении множества Кантора. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Эта фигура известна как снежинка Коха, и названа она в честь шведского математика Хельге фон Коха, впервые описавшего ее в 1904 году.
Снежинка Коха (вверху справа и в среднем ряду)и кривая Коха (внизу; «Приблизительная, но весьма удачная модель береговой линии», как охарактеризовал ее Мандельброт). Чтобы создать снежинку Коха, начнем с построения треугольника, каждая сторона которого равна единице. В середину каждой стороны встроим новый треугольник со стороной втрое меньшей и повторим преобразования многократно. Длина контура полученной фигуры равна 3 × 4/3 × 4/3 × 4/3… и так до бесконечности. Однако ее площадь все же меньше площади окружности, описанной около первоначального треугольника. Таким образом, бесконечно длинная линия очерчивает ограниченную площадь.
