Поразмыслив, можно заключить, что снежинке Коха присущи некоторые весьма занимательные черты. Прежде всего, она представляет собой непрерывную замкнутую кривую, никогда не пересекающую саму себя, так как новые треугольники на каждой стороне всегда достаточно малы и поэтому не сталкиваются друг с другом. Каждое преобразование добавляет немного пространства внутри кривой, однако ограниченная ею площадь остается конечной и фактически лишь незначительно превышает площадь первоначального треугольника. Если описать окружность около последнего, кривая никогда не растянется за ее пределы.
Но все же сама кривая Коха бесконечно длинная, как и евклидова прямая, стремящаяся к краям ничем не ограниченной Вселенной. Подобно тому как во время первой трансформации один отрезок длиной в один фут заменяется на четыре длиной в четыре дюйма, каждое последующее преобразование умножает общую длину кривой на четыре третьих. Подобный парадоксальный итог – бесконечная длина в ограниченном пространстве – в начале XX века озадачил многих математиков. Кривая Коха оказалась монстром, безжалостно поправшим все мыслимые интуитивные ощущения относительно форм и (это воспринималось как данность) непохожим на что-либо, существующее в природе.
В этих обстоятельствах не выглядит странным, что исследования некоторых упрямых математиков, придумавших иные фигуры, чьи свойства были похожи на свойства кривой Коха, также вызвали слабый отклик в научном мире в свое время. Речь идет о кривых Пеано, а также коврах и салфетках Серпинского. Для построения ковра Серпинского нужно взять квадрат и разделить его на девять равных квадратов меньшей площади, а затем удалить центральный. Далее следует повторить операцию с восьмью оставшимися квадратами, сделав в центре каждого из них отверстие. Салфетка Серпинского представляет собой примерно то же самое, но ее составляют не квадраты, а равносторонние треугольники. Она обладает качеством, которое весьма трудно представить: любая произвольная точка является точкой разветвления, своего рода вилкой в структуре. Вообразить подобное сложно, пока не посмотришь на Эйфелеву башню, хорошее трехмерное приближение: ее балки, фермы и перекрытия, разветвляясь на изящные решетчатые конструкции, являют собой мерцающую сетку тончайших деталей
[156]. Эйфель, конечно же, не мог достичь бесконечности в своем творении, однако ценил тонкий инженерный подход, который позволил ему сделать сооружение менее тяжеловесным, не лишив его прочности.
Очень трудно визуально представить сложность, бесконечно вложенную саму в себя. Однако человеку с развитым пространственным воображением такое повторение структуры во все более мелких масштабах может открыть целый мир. Мандельброт исследовал подобные формы, пытаясь силой разума расширить таящиеся в них возможности. Это занятие увлекало его, как игра; словно ребенок, он с восторгом любовался новыми конструкциями, которые никто не увидел и не постиг до него. Он придумывал им названия: канат, простыня, губка, пена, сгусток, набивка.
Фрактальная размерность оказалась замечательным инструментом. В известном смысле степень иррегулярности определяла способность того или иного объекта занять определенное пространство. Обычная евклидова одномерная прямая не занимала пространства вовсе, чего нельзя сказать о контуре кривой Коха, бесконечная длина которого теснится в ограниченном пространстве. Сама кривая являет собой уже нечто большее, чем просто линию, но все же это еще и не плоскость; она глубже одномерного объекта, но поверхностнее двумерной формы. Используя технику, созданную математиками в начале XX века, но потом почти забытую, Мандельброт смог вполне точно описать фрактальную размерность
[157]. Для кривой Коха, например, бесконечное умножение на 4/3 дает размерность 1,2618.
Продолжая следовать этим путем, Мандельброт, по сравнению с другими математиками, которые занимались подобными фигурами, пользовался двумя преимуществами. Первым его преимуществом было то, что он имел доступ к вычислительной технике корпорации IBM, и это помогло ему решить задачу, идеально подходящую для высокоскоростного компьютера. Подобно тому как метеорологам приходится проделывать одни и те же подсчеты для миллионов соседствующих друг с другом точек атмосферы, Мандельброт должен был вновь и вновь выполнять несложное преобразование. Изобретательность помогает понять суть трансформаций. Компьютер мог нарисовать их, демонстрируя порой весьма неожиданные результаты. В начале XX века математики быстро споткнулись на сложных вычислениях, равно как и для первых биологов отсутствие микроскопа стало серьезным препятствием. Воображение способно рисовать тончайшие детали, но лишь до определенной степени.
Губка Менгера. Лишь немногие математики в начале XX века проникли в сущность объектов, созданных с помощью техники добавления или удаления бесконечного множества составляющих их частей. Внешний вид подобных конструкций зачастую казался просто чудовищным. Одной из таких фигур является ковер Серпинского. Для его построения удаляют одну девятую часть из центра квадрата, затем вырезают девятые части из центров оставшихся, менее крупных восьми квадратов, и так далее. Аналогом ковра в трехмерном пространстве считается губка Менгера – весьма внушительная решетка, имеющая бесконечную площадь поверхности и нулевой объем.
Как отмечал Мандельброт, «целое столетие для математики прошло впустую, поскольку рисование не играло тогда в науке никакой роли. Рука, карандаш и линейка исчерпали себя. Будучи слишком привычными и понятными, эти средства перестали быть интересными, а компьютера еще не существовало. Вступив в игру, я ощутил, что в ней совсем не задействуется интуиция. Ее необходимо было развивать с нуля. Интуиция, взращенная традиционным воспитанием, вооруженная рукой, карандашом и линейкой, посчитала новые формы весьма уродливыми и далекими от общепринятых стандартов, введя нас в заблуждение. Первые полученные изображения весьма меня удивили, но позже во вновь конструируемых картинах стали проглядывать фрагменты предыдущих, и так продолжалось довольно долго. Отмечу, что интуиция не дается нам по умолчанию. Я приучал свою интуицию воспринимать как должное те формы, которые считались абсурдными и отвергались с самого начала. И я понял, что любой может поступить точно так же»
[158].
Другим преимуществом Мандельброта стала картина реальности, которую он начал выстраивать, столкнувшись со случайными отклонениями цен на хлопок, шумов при передаче сигналов и разливов рек. Картина начала приобретать отчетливость. Исследование примеров неупорядоченности в естественных процессах и анализ бесконечно сложных форм пересекались, и точкой пересечения послужило так называемое самоподобие. «Фрактальный» – это прежде всего «самоподобный».
