Даже топологу с самой развитой фантазией нелегко представить себе пространства, обладающие четырьмя, пятью и более измерениями. Однако сложные системы имеют множество независимых переменных, поэтому математикам пришлось смириться с тем, что множество степеней свободы требует фазового пространства, где бесконечно много измерений. Так ничем не ограниченная природа дает о себе знать в бурных струях водопада или в непредсказуемости человеческого мозга. Но кто сумеет справиться с этим беспощадным и необоримым чудищем, образ которого Ландау использовал для того, чтобы выразить суть турбулентности, и которому присущи бесконечное число колебаний, бесконечное число степеней свободы, бесконечное количество измерений?
Физики имели вполне вескую причину относиться с неприязнью к модели, поведение которой в природе столь неясно. Используя нелинейные уравнения, описывающие движения жидкости, мощнейшие суперкомпьютеры мира не могли точно отследить турбулентный поток даже одного кубического сантиметра жидкости в течение более чем нескольких секунд. Конечно, виновата в этом больше природа, нежели Ландау, тем не менее предложенная советским ученым схема производила эффект «поглаживания против шерсти». Даже не имея сколько-нибудь солидных знаний, физик вполне мог заподозрить, что тут есть какой-то еще не открытый принцип. Подобное ощущение выразил словами великий теоретик квантовой физики Ричард Фейнман: «Меня всегда беспокоило, что, согласно физическим законам, как мы понимаем их сегодня, требуется бесконечное число логических операций в вычислительной машине, чтобы определить, какие процессы происходят в сколь угодно малой области пространства за сколь угодно малый промежуток времени. Как может все это уложиться в крохотном пространстве? Почему необходима бесконечная работа логики для понимания того, что произойдет на крохотном участке пространства-времени?»
[203]
[204]
Как и многие из тех, кто занимался хаосом, Давид Рюэль подозревал, что видимые в турбулентном потоке объекты – перепутанные струи, спиральные водовороты, волшебные валы, появляющиеся и исчезающие, – должны отражать то, что объяснялось законами физики, но все еще принадлежало к сфере неоткрытого
[205]. В его понимании рассеивание энергии в турбулентном потоке должно было вести к своеобразному сжатию фазового пространства, притягиванию к аттрактору. Бесспорно, аттрактор при этом не оставался неподвижной точкой, поскольку поток никогда не приходил в состояние покоя – энергия поступала в систему и уходила из нее. Каким еще мог быть аттрактор? Согласно догмату, существовал лишь один возможный тип: периодический аттрактор, или замкнутая кривая, орбита, притягивающая все близлежащие орбиты. Если маятник получает энергию от пружины и теряет ее из-за трения (то есть если маятник одновременно приводится в движение и тормозится), то устойчивая орбита может представлять собой замкнутую петлю в фазовом пространстве, отражающую, например, регулярные колебательные движения маятника старинных часов. Неважно, откуда именно начнет двигаться маятник, в конечном счете он придет именно к данной орбите. Но придет ли? При некоторых начальных условиях (они характеризуются минимумом энергии) маятник остановится. Таким образом, получается, что система в действительности имеет два аттрактора, один из которых является замкнутой петлей, а другой – фиксированной точкой. Каждый из аттракторов имеет собственный «бассейн притяжения» в фазовом пространстве. В целом это напоминает две речные долины, разграниченные водоразделом.
В краткосрочной перспективе каждая точка фазового пространства может означать возможное поведение динамической системы. В долгосрочной же перспективе единственными возможными моделями поведения становятся сами аттракторы. Все иные типы движения преходящи. По определению аттракторам присуще важнейшее качество – устойчивость. В реальной системе, где движущиеся элементы сталкиваются и колеблются из-за помех окружающей среды, движение стремится вернуться к аттрактору. Толчок способен ненадолго исказить траекторию, однако возникающие случайные движения быстро исчезают: даже если вдруг кошка заденет часы с маятником, минута не увеличится до шестидесяти двух секунд. Однако турбулентность в жидкостях – явление иного порядка, никогда не порождающее единственный ритм, исключающий все остальные. Известное свойство такого явления заключается в том, что одновременно наблюдается весь спектр возможных колебаний. Турбулентность можно сравнить с так называемым белым шумом или с помехами. Мог ли подобный феномен являться результатом простой детерминистской системы уравнений?
Рюэль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо иной тип аттрактора подходящим набором характеристик: устойчивостью, малым числом измерений, непериодичностью. Устойчивость означала достижение конечного состояния системы вопреки всем помехам в полном шумов мире. Малое число фазовых координат предполагало, что орбита в фазовом пространстве должна быть ограничена либо прямоугольником на плоскости, либо параллелепипедом в трехмерном пространстве и обладать лишь несколькими степенями свободы. Непериодичность подразумевала отсутствие повторений – ничего общего с монотонным тиканьем старых дедушкиных часов. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой воды головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Ведь система, вернувшаяся в свое прежнее состояние, согласно принятой модели, должна повторять уже пройденный путь снова и снова. Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, она должна стать фрактальной – хотя этого слова еще не существовало.
Следуя математической логике, Рюэль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать. Хотя они никогда не видели и не изображали его, одного заявления оказалось довольно. Впоследствии, выступая с речью на пленарном заседании Международного конгресса математиков в Варшаве и пользуясь преимуществом высказать суждение задним числом, Рюэль заявил: «Научное сообщество весьма прохладно отнеслось к нашему предположению. В частности, упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом „степеней свободы“, многие физики посчитали просто ересью»
[206]. Но были и другие – горсточка, если уж быть точными, – которые почувствовали всю значимость вышедшей в 1971 году работы и продолжили развивать идеи, намеченные в ней.
На самом деле к 1971году в научной литературе уже имелся один небольшой набросок того невообразимого чудовища, которое пытались оживить Рюэль и Такенс. Эдвард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 году
[207]. Этот образ представлял собой конструкцию из двух кривых – одна внутри другой – справа и пяти кривых слева. Лишь для схематичного изображения этих семи «петель» потребовалось пятьсот математических операций, выполненных компьютером. Точка, двигаясь вдоль указанной траектории в фазовом пространстве, иллюстрировала медленное хаотичное вращение потоков жидкости, что описывалось тремя уравнениями Лоренца для явления конвекции. Поскольку система характеризовалась тремя независимыми переменными, данный аттрактор лежал в трехмерном фазовом пространстве. И хотя изображен был лишь его фрагмент, Лоренц смог увидеть гораздо больше: нечто вроде двойной спирали, крыльев бабочки, сотканных с удивительным мастерством. Когда увеличение количества теплоты в системе Лоренца вызывало движение жидкости в одном направлении, точка находилась в правом «крыле», при остановке течения и его повороте точка перемещалась на другую сторону.
