И вновь ему показалось разумным сконцентрироваться только на геометрической сущности объекта исследования, абстрагируясь от его физического происхождения. Там, где Лоренц и другие ученые применяли дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные изменения в пространстве и времени, Эно использовал разностные уравнения, которые можно было рассматривать во времени раздельно. По его глубокому убеждению, ключом к разгадке служили повторяющиеся операции растягивания и свертывания фазового пространства – те самые, что имитируют действия кондитера, который раскатывает тесто для пирожных, складывает его, затем, вновь раскатав, опять складывает, формируя таким образом хрупкую многослойную структуру. Изобразив овал на листе бумаги и решив растянуть его, Эно избрал для этой операции простую математическую функцию, согласно которой каждая точка овала смещалась в новое положение на фигуре, аркой поднимающейся над центром. Таким образом овал точка за точкой «отображался» на арку. Затем Эно начал вторую операцию – сжатие, которое сдвигало внутрь края арки, делая ее уже. Третье преобразование поворачивало фигуру набок таким образом, чтобы она укладывалась в первоначальный овал. Для простоты вычислений все три построения могли быть объединены в одной-единственной функции.
По духу преобразования Эно повторяли идею «подковы» Смейла. Вычисления, которых требовала вся эта процедура, отличались такой легкостью, что их можно было без труда выполнить на счетной машинке. Каждая точка имеет две координаты: х, обозначающую ее положение на горизонтальной оси, и у, задающую положение на оси вертикальной. Чтобы вычислить новое значение переменной х, необходимо было взять предыдущее значение у, прибавить к нему 1 и вычесть предыдущее значение x в квадрате, умноженное на 1,А для расчета нового значения у нужно было умножить предыдущее значение х на 0,То есть xновое = у + 1–1,4x2; уновое = 0,3х.
Эно почти наугад выбрал начальное положение и, взяв калькулятор, стал откладывать новые точки, одну за другой, пока их количество не достигло нескольких тысяч. Затем с помощью компьютера IBM 7040 он быстро просчитал координаты пяти миллионов точек. То же мог сделать кто угодно, имея в своем распоряжении персональный компьютер с графическим дисплеем.
Сначала кажется, что точки беспорядочно «прыгают» по экрану, производя такой же эффект, как и в сечении Пуанкаре трехмерного аттрактора: движение туда-сюда по поверхности дисплея. Но достаточно быстро проглядывает отчетливый контур, искривленный словно плод банана. Чем дольше выполняется программа, тем больше появляется деталей. Кажется, что части рисунка имеют даже толщину. Однако в дальнейшем она распадается на две отчетливые линии, которые, в свою очередь, расходятся на четыре: две пары, в каждой кривые близки друг к другу, а между парами есть существенное расстояние. Увеличив изображение, заметим, что каждая из четырех линий включает в себя еще две – и так далее, до бесконечности. Как и аттрактор Лоренца, аттрактор Эно обнаруживает бесконечное членение, словно нескончаемая вереница матрешек, вложенных одна в другую.
Аттрактор Эно. Несложная комбинация складывания и растяжения породила аттрактор, легко просчитываемый, но тем не менее плохо понимаемый математиками. По мере появления тысяч и миллионов точек возникает все больше и больше деталей. То, что кажется одной линией, при увеличении оказывается двумя. Потом выясняется, что линий уже четыре. И все же невозможно предсказать, окажутся ли две последовательные точки рядом или далеко друг от друга.
Скрытая деталь – одни линии внутри других – в своей законченной форме может быть обнаружена в серии изображений, сделанных при возрастающем увеличении. Однако сверхъестественное воздействие странного аттрактора можно ощутить и по-иному, наблюдая зарождение состоящей из точек формы, возникающей словно призрак из тумана. Появляющиеся точки столь беспорядочно «разбегаются» по поверхности экрана, что присутствие в их множестве какой-либо структуры, не говоря уже о структуре столь запутанной и хрупкой, кажется невероятным. Любые две последовательно обнаруживаемые точки находятся произвольно далеко друг от друга, так же как любые две точки, которые в турбулентном потоке исходно располагались рядом. Задав какое угодно количество точек, невозможно предугадать, где появится следующая. Можно лишь предположить, что она будет находиться в пределах аттрактора.
Точки с такой степенью случайности «разбредаются» перед глазами, а узор кажется столь эфемерным, что о принадлежности наблюдаемой формы к аттракторам поневоле забываешь. Эти очертания – отнюдь не произвольная траектория, описываемая динамической системой: это траектория, к которой стремятся все остальные траектории. Именно поэтому выбор начальных условий не имеет абсолютно никакого значения. Пока начальная точка лежит вблизи аттрактора, следующие несколько точек будут необычайно быстро сходиться к нему.
Когда в 1974 году Давид Рюэль приехал к Голлабу и Суинни в их лабораторию в городском колледже в Нью-Йорке, обнаружилось, что теория и эксперимент у них всех связаны весьма слабо. Немного математики, довольно смелой, но сомнительной в техническом отношении. И цилиндр с турбулентной жидкостью, поведение которой не особо примечательно, но явно противоречит общепринятой теории. Ученые провели всю первую половину дня за обсуждением, а потом Суинни и Голлаб вместе с женами уехали в отпуск в Адирондакские горы, где у четы Голлаб был домик. Они не видели странный аттрактор собственными глазами и не постигли многое из того, что происходит на пороге турбулентности, но были убеждены, что Ландау ошибся, а Рюэль, кажется, прав.
Странный аттрактор, этот фрагмент мироздания, ставший зримым благодаря компьютеру, начинался как простая возможность. Он лишь отмечал собой ту сферу, куда не удалось проникнуть богатому воображению многих ученых XX века. Но вскоре, когда вычислительные машины сделали свое дело, специалисты осознали, что полученное изображение, словно лицо давно знакомого человека, мелькает везде: в мелодии турбулентных потоков, за флером подернувших небо облаков. Природа была обуздана. Казалось, беспорядок введен в русло, разложен на узоры, в которых подспудно угадывался общий мотив.
Прошли годы, и признание феномена странных аттракторов подготовило благодатную почву для революции в изучении хаоса, дав тем, кто занимался расчетами, ясную программу исследований. Ученые принялись искать странные аттракторы во всех явлениях природы, где ощущалась неупорядоченность. Многие утверждали, что погода на планете Земля управляется не чем иным, как странным аттрактором. Другие, сведя воедино миллионы цифр из сводок фондовых бирж и обработав их на компьютерах, вглядывались в результаты в надежде обнаружить аттрактор и там
[221].
В середине 1970-х годов такие открытия еще принадлежали будущему. Тогда никто не увидел аттрактора в эксперименте и было совершенно неясно, как его обнаружить. В теории странный аттрактор наполнял математическим содержанием неизвестные ранее основные характеристики хаоса, в частности «сильную зависимость от начальных условий». «Перемешивание» было еще одним свойством, имеющим смысл, скажем, для конструктора реактивных двигателей, который интересуется оптимальной комбинацией топлива и кислорода. Однако никто не знал, как измерять такие характеристики, как привязать к ним числа. Странные аттракторы казались фрактальными, то есть их истинная размерность была дробной. Но никто не знал, как измерить ее или как использовать результаты подобных измерений для решения реальных инженерных задач.
