Но если на белой поверхности появлялось едва заметное пятнышко или небо застилали облака, Гёте видел цветовую вспышку. Это дало ему повод заключить, что источником цвета является «чередование света и тени». Он продолжил исследовать, как люди воспринимают тени, отбрасываемые предметами, которые окрашены в разные цвета. В серии тщательно поставленных опытов использовались свечи и карандаши, зеркала и цветное стекло, свет Луны и Солнца, кристаллы, жидкости и цветные диски. Например, зажигая свечу перед листом белой бумаги в сумерках, экспериментатор держал в руках карандаш. Тень, отбрасываемая карандашом, имела чистый голубой цвет. Почему? Бумага белого цвета воспринимается как белая и в угасающем дневном свете, и в теплом мерцании свечи. Каким образом тень разделяет белое на зоны голубого и красновато-желтого? Цвет, доказывал Гёте, представляет собой «степень темноты, близкую к тени». Переведя это на современный язык, можно сказать, что источник цвета есть краевые условия и особенности.
Там, где Ньютон был редукционистом, Гёте придерживался холизма. Ньютон разбил цвет на составляющие и нашел самое основное физическое объяснение этому феномену. Гёте же, наслаждаясь видами цветущих садов и изучая живописные полотна, искал всеобъемлющее, окончательное толкование интересующего его явления. Ньютон подогнал свою теорию цвета под математическую схему, характерную для всей физики, а Гёте, к счастью или к несчастью, чувствовал к математике отвращение.
Фейгенбаум убедился в том, что идеи Гёте о явлении цветности верны. Эти идеи напомнили ему популярную среди некоторых психологов точку зрения, которая различает суровую реальность и субъективно-изменчивое ее восприятие. Цвета, воспринимаемые человеком, изменяются от случая к случаю и от человека к человеку, в чем несложно убедиться. Но, в понимании Фейгенбаума, в идеях Гёте, эмпирических и весьма определенных, таилось гораздо больше истинной научности. Вновь и вновь экспериментатор подчеркивал повторяемость своих опытов, так как для него именно восприятие цвета являлось всеобщим и объективным. Какие научные свидетельства, не зависящие от нашего восприятия, существуют для определимого и реального красного?
Фейгенбаум задался вопросом, какого рода математический формализм должен соответствовать человеческому восприятию, особенно тем его видам, которые отсеивают суетное многообразие полученного опыта, обнаруживая универсальные свойства. Красное не обязательно является светом определенной частоты, как представлялось последователям Ньютона; это территория хаотичного мира, границы которой не так-то просто описать. И все же наш ум находит красное с устойчивым и проверенным постоянством. Таковы были мысли молодого ученого-физика, далекие, казалось бы, от проблем турбулентности в жидкостях. Но все же для того, чтобы постичь, как человеческий мозг разбирается в хаосе восприятия, прежде нужно понять, как беспорядок способен породить универсальность.
Начав в Лос-Аламосе размышлять над феноменом нелинейности, Фейгенбаум понял, что из своего обучения он, в сущности, не вынес ничего полезного. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, не придерживаясь примеров из учебника, было невозможно. Метод возмущений с его последовательными корректировками поддающейся решению задачи, которая, как предполагалось, близка к реальной проблеме, выглядел довольно глупым. Ознакомившись с рядом руководств по нелинейным потокам и колебаниям, ученый сделал вывод, что сколько-нибудь разумному физику они мало чем помогут. Имея в своем распоряжении лишь карандаш и бумагу для вычислений, Фейгенбаум решил начать с аналога простого уравнения, рассмотренного в свое время Робертом Мэем применительно к популяционной биологии.
С таким уравнением – его можно записать как у = r(х−х2) – ученики средней школы знакомятся в курсе алгебры при построении параболы. Каждое значение xдает новое значение у, а полученная в результате кривая выражает связь между x и у в определенном диапазоне значений. Если значение x(численность популяции в текущем году) мало, то значение у (численность популяции в следующем году) также будет невелико, но больше, чем х. Кривая круто поднимается вверх. Если значение хнаходится в середине диапазона, то значение у велико. Но парабола выравнивается близ своей вершины и начинает снижаться так, что если значение хвелико, то значение у вновь мало. Именно это и является эквивалентом скачков численности популяции в экологическом моделировании, которые предотвращают ничем не ограниченный рост, не происходящий в реальности.
Для Мэя, а затем и для Фейгенбаума главное заключалось в том, чтобы произвести это простое вычисление не один раз, а повторять его бесконечно, как в «петле обратной связи». Итоги одного подсчета служили исходными данными для следующего. Для графического представления результатов парабола оказывалась незаменимой. Надо было выбрать начальную точку на оси х, провести перпендикуляр вверх до пересечения с параболой, найти соответствующее значение на оси у и повторить вычисления уже с новым значением. Результат сначала будет «скакать» от одной точки параболы к другой, а потом, вероятно, установится на уровне устойчивого равновесия, где значения х и у равны, то есть численность популяции останется неизменной.
Казалось, нельзя было найти ничего более далекого от сложных расчетов теоретической физики. Вместо единовременного решения запутанной системы одна и та же простая операция повторялась вновь и вновь. Ставящий подобные опыты с числами будет наблюдать, подобно химику, который следит за ходом реакции, бурление внутри мензурки. Результат являл собой ряд чисел, не всегда достигавший в итоге устойчивого значения: он мог завершиться скачками значения в некотором интервале или, как разъяснял Мэй своим коллегам-биологам, изучающим популяции, ряд мог продолжать изменяться совершенно хаотичным образом настолько долго, насколько хватит терпения за ним наблюдать. Поведение числового ряда зависело от выбранного значения параметра.
Выполняя расчетную часть своих исследований, которую едва ли можно было назвать экспериментом, Фейгенбаум одновременно пытался анализировать нелинейные функции с более традиционных, теоретических позиций. Но даже тогда он не смог увидеть всю полноту возможностей, что открывали уравнения. Тем не менее ученый понял, что возможности эти весьма сложны и анализ их окажется довольно трудоемким. Он также знал, что три математика из Лос-Аламоса – Николас Метрополиc Пол Стейн и Майрон Стейн – изучали в 1971году похожие отображения, и теперь Пол Стейн предупредил Фейгенбаума, что они в самом деле пугающе сложны. Если анализ результатов решения простейшего уравнения оказался столь трудным, чего же было ожидать от гораздо более запутанных формул, которыми ученые могли бы описывать реальные системы? И Фейгенбаум отложил проблему в долгий ящик.
Этот эпизод из краткой летописи хаоса, история, заварившаяся вокруг одного-единственного, безобидного, на первый взгляд, уравнения, показывает, какими разными глазами разные ученые смотрят на одну и ту же проблему
[231]. Для биологов это уравнение несло свой смысл, заключающийся в том, что простые системы способны на сложное поведение. Для математиков Метрополиса и Стейнов вопрос заключался в создании совокупности топологических моделей вне всякой связи счисленными результатами
[232]. Они начинали процедуру «обратной связи» в определенной точке и наблюдали, как следующие одно за другим значения «прыгают» по параболе с одного места на другое. Ученые записывали, на какую сторону параболы – правую или левую – попадала очередная точка, получая таким образом последовательности из букв Π и Л. Образец № 1 – Π
[233]; образец № 2 – ПЛП; образец № 193 – ПЛЛЛЛЛППЛЛ. Математику подобные опыты могли поведать много интересного – казалось, что они всегда воспроизводят одну и ту же специальную последовательность, но физику они представлялись утомительными и довольно туманными.
