Как коллекционер огнестрельного оружия в эпоху автоматов с тоской вспоминает кольт сорок пятого калибра, так и в глубине души современного ученого таится легкая ностальгия по карманному калькулятору модели HP-65. За несколько лет полного господства этому вычислительному устройству удалось навсегда изменить привычки многих исследователей. Для Фейгенбаума же счетная машинка перекинула мостик от карандаша и бумаги к компьютеру, не сразу оцененному по достоинству учеными.
Он еще ничего не знал о Лоренце, но летом 1975 года на встрече в Аспене, штат Колорадо, услышал рассуждения Стива Смейла о некоторых математических свойствах тех самых квадратичных разностных уравнений
[236]. Смейл считал, что имеются некоторые интересные и пока не разрешенные вопросы о том, в какой именно момент случается переход модели от периодического к хаотическому состоянию. Как всегда, Смейл отличался отменным чутьем на действительно стоящие проблемы. Фейгенбаум решил взглянуть на уравнение еще раз. Вооружившись калькулятором, он применил сочетание аналитической алгебры и численных методов, чтобы обозреть свою модель и главным образом пограничную зону между хаосом и стабильностью.
В поисках аналогий – но только лишь аналогий – Фейгенбаум мог обратиться к той таинственной границе, что отделяет плавное течение жидкости от турбулентного. Именно к этому участку Роберт Мэй пытался привлечь внимание биологов, которые не замечали, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу в указанной зоне возникает целый каскад удвоения периодов: расщепление двух на четыре, четырех – на восемь и так далее, представляющее собой весьма удивительную картину. Именно в точках бифуркации некоторое изменение плодовитости особей могло привести к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших расщепления.
В конце концов в тот август к открытию ученого привела, как ни странно, неспешность вычислений с помощью калькулятора. Казалось, расчеты точного значения параметра для каждого удвоения периодов занимают целую вечность, хотя на самом деле – считаные минуты. Однако чем выше поднимался Фейгенбаум по цепочке циклов, тем больше времени требовали операции с числами. Имей ученый мощный компьютер и печатающее устройство, он, пожалуй, не заметил бы никакой закономерности, но ему приходилось записывать результаты вручную и, пока калькулятор работал, размышлять над ними. Чтобы сэкономить время, он просто-напросто пытался угадать, каким будет следующее значение.
И вдруг Фейгенбаум увидел, что гадать уже незачем. В системе пряталась неожиданная упорядоченность: числам была присуща геометрическая сходимость, словно телеграфные столбы сходятся в точку на горизонте на рисунке в перспективе. Если вы знаете, какими хотите изобразить любые два столба, вы знаете и остальное: отношение второго к первому будет таким же, как отношение третьего ко второму и так далее. Удвоения периодов не просто ускорялись, а ускорялись с постоянным коэффициентом.
Почему так происходило? Обычно появление геометрической сходимости предполагает, что в определенном месте некий объект повторяет сам себя в различных масштабах. Но если внутри изучаемой системы и таилась подобная масштабируемая модель, ее еще никто не заметил. Рассчитав коэффициент сходимости с наибольшей точностью, какая могла быть достигнута с имевшимся у него калькулятором (три цифры после запятой), Фейгенбаум получил следующий результат: 4,669. Имел ли этот коэффициент какой-либо математический смысл? Фейгенбаум сделал то, что на его месте сделал бы любой ученый, интересующийся числами: он провел остаток дня, пытаясь подогнать получившийся результат под известные постоянные: π, е и другие, но это ни к чему его не привело.
Удивительно, но позже Роберт Мэй понял, что он тоже наблюдал подобную геометрическую сходимость, однако забыл о ней столь же быстро, сколь мимолетно она промелькнула перед его глазами
[237]. С точки зрения эколога Мэя, это был не более чем специфический вычислительный эффект. В системах реального мира – популяциях животных и даже некоторых экономических моделях – любые четкие закономерности неизбежно исчезали в шумах. Та самая неупорядоченность, которая до сих пор служила ученому путеводной нитью, заставила его остановиться в критически важной точке. Мэй был взволнован вопиющим поведением уравнения. Никогда бы ему не пришло в голову, что числовые тонкости окажутся столь важными.
Но Фейгенбаум прекрасно понимал, к чему привели его вычисления, поскольку геометрическая сходимость указывала на присутствие в уравнении какого-то явления, связанного с масштабом, а Митчелл в полной мере сознавал существенность масштаба, от которого, по сути, зависела вся теория перенормировки. В явно неуправляемой системе масштабируемость свидетельствовала о том, что определенное качество сохраняется, в то время как все остальные претерпевают изменения. Итак, за турбулентной поверхностью уравнения скрывалась упорядоченность. Но где именно? Куда идти дальше, сказать было сложно.
Лето быстро сменяется осенью, которая сильно чувствуется в разреженном воздухе Лос-Аламоса. Уже подходил к концу октябрь, когда Фейгенбауму пришла в голову странная мысль. Он знал, что Николас Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн, рассматривая среди прочих описанное выше уравнение, выяснили, что определенное поведение повторяется при переходе от одного типа функции к другому. Обнаруживались те же сочетания знаков – П и Л, причем в том же порядке
[238]. Одна из исследованных ранее функций включала синус, из-за чего тщательно разработанный Фейгенбаумом подход к изучению параболы оказался неподходящим. Ему пришлось начать заново; вновь используя свой НР-65, он стал рассчитывать удвоения периодов для функции xt+1 = r sin πxt. Расчет тригонометрической функции значительно замедлял вычислительную процедуру, и Фейгенбауму пришла в голову мысль использовать тот же прием, что и для более простого уравнения. Посмотрев на числа, он понял, что они снова сходятся геометрически. Оставалось лишь вычислить коэффициент сходимости для нового уравнения. И вновь, задав наибольшую возможную точность, он получил результат с тремя цифрами после запятой: 4,669.
То же число! Невероятно, но данная тригонометрическая функция не просто обнаруживала последовательную геометрическую регулярность. Она обнаруживала в точности такую же регулярность, как и гораздо более простая функция. Ни математика, ни физика не могли объяснить, каким образом два столь различных по форме уравнения приводили к одинаковому результату.
