Примеры множеств Жюлиа.
Мандельброт обратился к простейшему отображению, запрограммировать которое не составляло труда. На грубо набросанной координатной сетке, где программа делала лишь несколько итераций, возникли первые контуры дисков. Некоторые проделанные вручную расчеты показали, что с математической точки зрения те вполне реальны и не являются некими вычислительными странностями. Справа и слева от главных дисков появлялись другие неясные очертания. Как позже вспоминал сам Мандельброт, воображение нарисовало ему нечто большее – целую иерархию форм, где от атомов, словно ростки, отпочковываются все новые и новые атомы, и так до бесконечности. А там, где система пересекала действительную ось, ее уменьшающиеся с каждым разом диски подчинялись определенному масштабированию с геометрической регулярностью, которую ученые, занимающиеся динамическими системами, определяют сейчас как последовательность бифуркаций Фейгенбаума.
Эти исследования подтолкнули Мандельброта к продолжению работы и совершенствованию первых черновых изображений. Вскоре он обнаружил некие включения, собиравшиеся по краям дисков и «плававшие» в близлежащем пространстве. Продолжая рассчитывать мельчайшие детали, Мандельброт вдруг почувствовал, что удача покинула его: вместо того чтобы становиться четче, картины делались лишь все более запутанными
[291]. Тогда он направился обратно в исследовательский центр IBM в Уэстчестере в надежде попытать удачи на компьютерах корпорации в частном порядке, чего не мог позволить себе в Гарварде. К удивлению Мандельброта, нарастание путаницы в изображениях говорило о чем-то реальном. Отростки и завитки медленно отделились от основного островка, и возникла кажущаяся однородной граница, которая распадалась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты морского конька. Иррациональное породило нечто рациональное.
Множество Мандельброта являет собой набор точек, и каждая точка комплексной плоскости – иными словами, каждое комплексное число – или входит в это множество, или находится за его пределами. Определить границы множества можно путем проверки каждой точки с помощью простого итерационного процесса. Для этого необходимо, выбрав комплексное число, возвести его в квадрат, прибавить результат к первоначальному числу, итог вновь возвести в квадрат, вновь прибавить результат к первоначальному числу – и так далее, снова и снова. Если полученное число стремится к бесконечности, значит, точка не входит в множество Мандельброта. Если же итог имеет предел (может быть «пойман» какой-нибудь из повторяющихся петель или хаотично блуждать), то в таком случае точка принадлежит множеству.
Множество Мандельброта.
Повторение процедуры неопределенное число раз и постоянная проверка того, бесконечен ли ее результат, напоминает процессы обратной связи в повседневной жизни. Представьте, что вы настраиваете в аудитории микрофон, усилители и динамики. Вас беспокоит, не возникнут ли пронзительные завывания при обратной связи. Если микрофон «услышит» достаточно громкий сигнал, усиленный динамиками звук достигнет его и породит бесконечные, еще более громкие отклики. С другой стороны, если звуки слабы, они просто затухнут. Чтобы построить модель процесса обратной связи, необходимо выбрать начальное число, умножить его само на себя, затем вновь умножить получившееся число само на себя, и так далее. Мы обнаружим, что большие числа быстро приведут к бесконечности: го, гоо, 10 000… Маленькие же числа устремятся к нулю: 1/2, 1/4, 1/16… Чтобы построить геометрическое изображение, определим совокупность численных значений, при подстановке которых данное уравнение не стремится к бесконечности. Рассмотрим точки на прямой от нуля и больше. Если точка ведет к визгу в микрофоне из-за эффекта обратной связи, закрасим ее белым цветом, а остальные точки – черным. Вскоре у нас появится изображение в виде линии, черной от нуля до единицы.
Появление множества Мандельброта. В первых нечетких распечатках с компьютера, сделанных Бенуа Мандельбротом, структура проявилась в своих основных очертаниях, которые становились тем детальнее, чем точнее производились компьютерные вычисления. Были ли похожие на артефакты плавающие «молекулы» изолированными островками? Или же они были прикреплены к основному объекту некими нитями, слишком тонкими, чтобы быть увиденными? Ответы на эти вопросы были неизвестны.
При исследовании одномерного процесса нет необходимости прибегать к эксперименту. Достаточно просто установить, что числа больше единицы уходят на бесконечность, а остальные – нет. Но чтобы понять, как выглядит форма, порожденная итерационным процессом на комплексной плоскости, в двух измерениях, знать уравнение, как правило, недостаточно. В отличие от традиционных геометрических форм, таких как окружности, эллипсы и параболы, множество Мандельброта не допускает никаких упрощений. Определить, какая форма возникает из конкретного уравнения, удается только методом проб и ошибок. Именно он привел исследователей к неизведанным землям скорее путем Магеллана, чем дорогой Евклида.
Такое объединение вселенной форм с миром чисел говорило о разрыве с прошлым. Новые геометрии всегда начинаются с того, что кто-нибудь пересматривает базовый постулат. Предположим, говорит ученый, что пространство не плоское, а определенным образом искривлено, – и в результате получается странная пародия на Евклида, которая стала основой общей теории относительности. Допустим, что пространство может иметь четыре измерения, пять или даже шесть. Вообразим, что число, выражающее измерение, может представлять собой дробь. Представим, что геометрические объекты можно закручивать, растягивать, завязывать узлами. Или, как сейчас, предположим, что формы можно определить не решением определенного уравнения, а итерированием его с помощью петли обратной связи.
Жюлиа, Фату, Хаббард, Барнсли, Мандельброт – все эти математики изменили правила создания геометрических форм. Декартов и евклидов методы превращения уравнений в кривые знакомы каждому, кто изучал геометрию в средней школе или находил точку на карте по двум координатам. В стандартной геометрии мы берем уравнение и находим множество чисел, которые ему удовлетворяют. Например, решение уравнения вроде х2 + у2 = 1образуют фигуру, в данном случае – окружность. Другим простым уравнениям соответствуют иные фигуры: эллипсы, параболы, гиперболы (эти фигуры получаются в качестве конических сечений) и даже более сложные формы, порождаемые дифференциальными уравнениями в фазовом пространстве. Но когда геометр начинает итерировать уравнение, вместо того чтобы решать его, последнее преобразуется из описания в процесс, из статического объекта в динамический. Подставив исходное число в уравнение, мы получим новое число, которое, в свою очередь, даст еще один результат, и так далее. Соответствующие им точки перепрыгивают с места на место. Точка наносится на график не тогда, когда она удовлетворяет уравнению, а тогда, когда она порождает определенный тип поведения. При этом один может представлять собой устойчивое состояние, другой – сводиться к периодическому повторению состояний, а третий – отличаться неуправляемым стремлением к бесконечности.
