Граница находится там, где программа для построения множества Мандельброта тратит больше всего времени и допускает наибольшее количество компромиссов. Когда результат неясен после ста, или тысячи, или десяти тысяч итераций, программа не может быть полностью уверена, что точка принадлежит множеству Мандельброта. Кто знает, что принесет миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения множества с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных вычислительных машинах или на компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят вычисления по одним и тем же правилам. Граница располагается там, где точки медленнее всего ускользают от притяжения множества, будто балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой – на бесконечности
[300].
Когда ученые переключились с самого множества Мандельброта на новые задачи о представлении реальных физических явлений, на передний план вышли свойства границы. Происходящее на рубеже между двумя или более аттракторами в динамической системе служит своего рода отправной точкой, определяющей ход множества заурядных процессов, начиная от разрушения материалов и заканчивая принятием решений. Каждый аттрактор в такой системе, подобно реке, имеет свой «бассейн», свою «площадь водосбора», и каждый такой «бассейн» заключен в определенные границы. В начале 1980-х годов для группы наиболее влиятельных ученых самым многообещающим новым разделом математики и физики оказалось изучение границ фрактальных бассейнов.
Этот раздел динамики исследует не конечное и устойчивое поведение системы, а механизм ее «выбора» между двумя возможными вариантами. Система, подобная модели Лоренца, сейчас является классическим примером системы с одним аттрактором – одним поведением, к которому система стремится, – и этот аттрактор хаотический. Другие системы способны в конечном итоге демонстрировать нехаотическое поведение, но могут иметь более одного устойчивого состояния
[301]. Исследование границ фрактальных бассейнов было исследованием систем, которые способны достигнуть одного из нескольких нехаотических конечных состояний
[302]. Оно приводило к вопросу о том, как предсказать, какого именно состояния достигнет система. Джеймс Йорк, который спустя десятилетие после присвоения хаосу имени стал пионером в изучении этого феномена, предложил рассмотреть воображаемую игру в пинбол – разновидность бильярда, где вашим партнером выступает механическое устройство с поршнем, оснащенным пружиной
[303]. Оттянув рукоятку поршня, мы отпускаем ее, чтобы направить шарик на игровое поле. Сконструированный под неким наклоном автомат обычно имеет резиновые бортики и электрические толкатели, которые сообщают шарику дополнительную энергию. Эти толчки весьма важны: благодаря им энергия шарика не будет просто плавно убывать. Простоты ради представим, что в нижней части воображаемого автомата нет резиновых бортовых лент, а есть только две наклонные плоскости (или лунки) для шарика, по одной из которых он и покидает поле.
Это детерминистский пинбол: автомат не испытывает вибраций и лишь один параметр обусловливает направление движения шарика – насколько сильно мы оттянули рукоятку поршня. Но предположим, автомат устроен так, что, если мы оттянули ее не сильно, шарик всегда катится в правую лунку, а если сильно – в левую. В промежуточном состоянии поведение системы становится сложным: шарик довольно долго прыгает от одного амортизатора к другому, издавая характерные шумы, прежде чем угодить в ту или другую лунку.
А теперь предположим, что мы строим график, отображающий зависимость результата от начального положения рукоятки поршня. График представляет собой линию. Положение рукоятки, при котором шарик попадает в правую лунку, обозначим красной точкой, в левую – зеленой. Что мы можем выяснить об этих аттракторах как о функции начальной позиции?
Граница оказывается фрактальной системой, необязательно самоподобной, но с бесчисленным количеством деталей. Некоторые участки линии будут сплошь красными или сплошь зелеными. Другие при увеличении обнаружат новые вкрапления красного внутри зеленого и наоборот. При каких-то положениях рукоятки небольшие сдвиги не имеют значения, однако есть и такие, при которых даже произвольно малое изменение будет иметь значение для распределения красного и зеленого цветов.
Добавление второго измерения означает ввод второго параметра, второй степени свободы. Например, в случае с автоматом для игры в пинбол можно принять во внимание эффект от изменения угла наклона игрового поля. Здесь обнаружится особого рода сложность – сущее наказание для инженеров, которые отвечают за проверку устойчивости реальных систем, обладающих более чем одним параметром, в частности энергетических сетей и ядерных станций, в 1980-х годах ставших объектами исследований вдохновленных хаосом ученых. При одном значении параметра А параметр В может порождать обнадеживающее упорядоченное поведение с последовательными участками стабильности. Инженеры могут проводить исследования и составлять графики именно того типа, какой предполагает их подготовка, ориентированная на линеаризацию. И все же не исключено, что где-то поблизости прячется другое значение параметра А, существенно влияющее на важность параметра В.
Йорк демонстрировал на конференциях изображения границ фрактальных бассейнов. Некоторые из них описывали поведение маятников, на которые действует дополнительная сила. Такие маятники могли стремиться к одному из двух конечных состояний и, как хорошо знали слушатели, часто встречались в реальной жизни в разных обличьях. «Никто не может утверждать, что я обманул систему, выбрав маятник, – с улыбкой говорил Йорк. – Подобные вещи мы наблюдаем в природе повсюду, однако их поведение в корне отличается от всего, что описано в литературе. Это фрактальное поведение беспорядочного типа»
[304]. Картины походили на фантастические водовороты белого и черного цветов, как будто кухонный миксер оставил несколько брызг в процессе смешивания ванили и шоколада для пудинга. Для создания подобных изображений компьютер просчитал решетку размером тысяча на тысячу точек, каждая из которых представляла разное начальное положение маятника, и графически отобразил результат, обозначив точки белым или черным. На картине проявились бассейны притяжения, смешанные и сложенные в соответствии со знакомыми уравнениями движения Ньютона, и в результате граница занимала большую часть изображения – как правило, более трех четвертей всех показанных на экране точек принадлежали именно границе
[305].
