Как наука, так и жизнь учит, что цепь событий может иметь критическую точку, в которой небольшие изменения приобретают особую значимость. Суть хаоса в том, что такие точки находятся везде и распространяются повсюду. В системах, подобных погоде, сильная зависимость от начальных условий представляет собой неизбежное следствие взаимодействия процессов, происходящих на разных масштабах.
Коллеги Лоренца были изумлены тем, как он соединил апериодичность и сильную зависимость от начальных условий в своей миниатюрной модели погоды. Всего двенадцать уравнений, раз за разом просчитываемые с механической точностью! Как может подобное многообразие, такая непредсказуемость – в чистом виде хаос! – возникнуть из простой детерминистской системы?
Отложив на время занятия погодой, Лоренц стал искать более простые способы воспроизвести сложное поведение объектов. Один из них был найден в виде системы из трех нелинейных, то есть выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются на графике прямой линией и достаточно просты для понимания: чем больше x, тем больше y. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: вы можете разбирать их на некие модули, а затем собирать снова, как конструктор, – эффекты будут попросту суммироваться
[37].
Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены, и эффекты в них не складываются. Изучая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру трение. Если пренебречь им, можно получить простую линейную зависимость между ускорением хоккейной шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв в расчет трение, мы усложним формулу, поскольку сила трения будет меняться в зависимости от того, с какой скоростью шайба уже движется. Нелинейность означает, что каждое действие меняет правила игры. Влияние трения не является постоянным, потому что оно зависит от скорости. Скорость, в свою очередь, зависит от трения. Из-за этой обоюдной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем она порождает разнообразные типы поведения объектов, не наблюдаемые в линейных системах. В динамике жидкостей все сводится к одному дифференциальному уравнению: уравнению Навье – Стокса. Будучи удивительно коротким, оно связывает скорость, давление, плотность и вязкость жидкости. Но оно нелинейно, и поэтому природу этих связей зачастую невозможно уловить, так как исследовать поведение нелинейного уравнения – все равно что блуждать по лабиринту, стены которого перестраиваются с каждым вашим шагом. Как сказал Нейман, «характер уравнения… меняется одновременно во всех релевантных отношениях; меняется как порядок, так и степень. Отсюда могут проистекать большие математические сложности»
[38]. Другими словами, мир был бы совсем иным и хаос не был бы так уж необходим, если бы в уравнении Навье – Стокса не таился демон нелинейности.
Три уравнения Лоренца были порождены особым видом движения в текучих средах – когда нагретые слои газа или жидкости поднимаются кверху. Это явление называется конвекцией. В атмосфере конвекция как бы перемешивает воздух, нагревающийся при соприкосновении с теплой почвой. Можно заметить, как струящиеся конвекционные волны поднимаются, подобно привидениям, над раскаленным асфальтом или другими поверхностями, излучающими тепло. Лоренц испытывал искреннюю радость, рассказывая о конвекции в чашке с горячим кофе
[39]. По его утверждению, это один из бесчисленных гидродинамических процессов в нашей Вселенной, поведение которых нам, вероятно, захочется предугадать. Как вычислить, насколько быстро остынет чашка кофе? Если напиток негорячий, теплота рассеется без всякого гидродинамического движения и жидкость перейдет в стабильное состояние. Однако, если кофе горячий, конвекция повлечет перемещение жидкости более высокой температуры со дна чашки на поверхность, где температура ниже. Этот процесс наблюдается особенно отчетливо, если в чашку с горячим кофе капнуть немного сливок – тогда видишь, сколь сложно кружение жидкости. Впрочем, будущее состояние подобной системы очевидно: движение неизбежно прекратится, поскольку теплота рассеется, а перемещение частиц жидкости будет замедлено трением. Как поясняет Лоренц, «у нас могут быть трудности с определением температуры кофе через минуту, но предсказать ее значение через час нам уже гораздо легче»
[40]. Уравнения движения, определяющие изменение температуры кофе в чашке, должны отражать будущее состояние этой гидродинамической системы. Они должны учитывать эффект рассеивания, при котором температура жидкости стремится к комнатной, а скорость перемещения ее частиц – к нулю.
Отталкиваясь от совокупности уравнений, описывающих конвекцию, Лоренц будто разобрал их на части, выбросив все, что могло показаться несущественным, и таким образом значительно упростил систему
[41]. От первоначальной модели не осталось почти ничего, кроме факта нелинейности. В результате уравнения, с точки зрения физика, приобрели довольно простой вид. Взглянув на них – а это делал не один ученый на протяжении многих лет, – можно было с уверенностью сказать: «Я смог бы их решить».
Лоренц придерживался иного мнения: «Многие, увидев такие уравнения и заметив в них нелинейные элементы, приходят к выводу, что при решении эти элементы несложно обойти. Но это заблуждение».
