Шаг высоты тона между одной нотой и нотой выше нее – к примеру, между си и до или между фа и фа-диез – называется полутон. Шаг из двух полутонов (например, между фа и соль или до и ре) называется тон. Терминология немного сбивает с толку, потому что словом «тон» можно назвать также и любой музыкальный звук, но я надеюсь, что из контекста будет понятно, что имеется в виду.
Любые две ноты разделены интервалом, который определяется соответствующим числом шагов на шкале. Таким образом, интервал между первой ступенью и пятой нотой гаммы – например, между до и соль – называется квинта (Рис. 3.7); технически его называют совершенной квинтой. Кроме кварт и квинт, остальные интервалы появляются в двух разных вариантах в зависимости от того, включают ли они ноту из мажорной гаммы или ноту на полутон ниже, минорную. Интервал большая терция – это шаг от до к ми, а соответствующая ей малая терция – это шаг от до к ми-бемоль (Рис. 3.7). Единственный интервал, который не включает данная терминология, это интервал между тоникой (первой ступенью) и высокой 4 либо низкой 5 – например, от до к фа-диез или соль-бемоль. Иногда этот интервал называют увеличенной квартой или уменьшённой квинтой, но чаще используют название «тритон» – музыкальный интервал величиной в три целых тона: до-ре-ми-фа-диез. Интервалы также могут распространяться более, чем на октаву: например, интервал между до первой октавы и ре второй октавы – это октава плюс секунда, или интервал в девять ступеней, называемый (большая) нона. В принципе можно обозначить этот шаг как 1—9, но 9 также является второй нотой гаммы на октаву выше, поэтому чаще ее записывают в виде 2’, а прима обозначает начало новой октавы. Интервал в пределах октавы в этой нотации записывается 1—1’.
Рис. 3.7 Интервалы диатонической шкалы.
Каждый отдельный интервал включает определенное количество полутонов между нижней и верхней нотой: большая терция соответствует четырем полутонам, а малая терция – только трем.
На самом деле все зависит от подсчета. Сложнее становится от того, что интервалы не всегда определяются отсылкой к первой ступени (тонике) в той тональности, в которой звучат. Рассмотрим интервал от ми к соль, например. Это большая терция: соль на четыре полутона выше ми, а также она является третьей нотой в гамме ми минор. Но это не означает, что интервал ми-соль находится в пределах музыки в ми минор. Он, например, также является интервалом между 3 и 5 гаммы до мажор и интервалом между 7 и 2’ фа мажор.
Таким образом, квинта как интервал отделяет тона, частота которых находится в соотношении 3:2. Убедившись, что этот интервал звучит очень приятно, последователи Пифагора вывели общий принцип: тона разной высоты, частоты которых находятся в простом соотношении, звучат «хорошо», то есть считаются консонантными (реальные отношения между консонансом и тем, что мы воспринимаем, гораздо сложнее, как мы вскоре убедимся). В консонантной чистой кварте – например, от до к фа – высоты тона соотносятся как 4:3 (Рис. 3.5с). Частота фа составляет четыре трети от до ниже нее.
Три простых соотношения частот – 2:1, 3:2 и 4:3 – дают нам три ноты, связанные с первоначальной: октава, чистая квинта и кварта, или 1’, 5 и 4. В тональности до это будут до’, соль и фа. Итак, у нас есть начало гаммы, набор нот, которые гармонично сочетаются друг с другом и которые мы можем использовать для создания музыки.
Можно рассмотреть далее ноты из других простейших числовых соотношений, таких как 5:4 и 6:5, и довольно скоро мы этим займемся. Но греки рассуждали иначе: они решили, что только три этих интервала могут стать основой для генерации других звукорядов, потому что те же математические трансформации можно применить к новым нотам 5 и 4. Для ясности давайте останемся с вариантами этих нот в тональности до – то есть это ноты соль и фа. Мы можем поднять соль на чистую квинту, увеличив ее частоту в соотношении 3:2 (умножим на 3/2). По отношению к первоначальной до – эта новая нота будет иметь частоту выше на 3/2×3/2 или 9/4, и соответствовать ноте ре’. Теперь, если мы вернем эту новую ноту в диапазон октавы до-до’, опустив ее на октаву (уменьшив вдвое ее частоту), мы обнаружим ноту с частотой 9/8 от тоники до, соответствующую ре (Рис. 3.8).
Рис. 3.8 Переход от до к ре через квинты и октавы. Результат – соотношение частот 9/8.
Мы можем прийти к этой ре другим путем через шаги из кварт и квинт: на чистую квинту к соль и затем вниз к чистой кварте. Я не буду показывать это математически, но скажу, что мы снова получим ноту с частотой 9/8 от тоники. Система! Итак, у нас есть шкала до, ре, фа, соль, до’. Но зияют большие пробелы между ре и фа и между соль и до’. Их можно заполнить, сделав шаг, равный расстояниям между до и ре или между фа и соль, и оба будут являться приращением частоты 9/8. Применив это принцип к ре, мы получим ми с частотой в соотношении 81/64 от до, а если применить его к соль, мы получим ля с частотой в соотношении 27/16 от до. Такой шаг от ля дает нам си в соотношении 243/128. Эквивалентный способ получения дополнительных нот заключается в простом повышении тоники по нарастающей на квинту – от до к соль, от соль к ре’, от ре’ к ля’, от ля‘ к ми” и ми” к си” (Рис. 3.9), – а затем возвращением этих нот в диапазон первоначальной октавы.
И вот наша мажорная гамма. Тщательное изучение показывает, что она обладает любопытным неравномерным шаблоном ступеней повышения тона. Две первые ступени 1—2 и 2—3 обладают такой же шириной, как 4—5 и 5—6, соответствуя приращению частоты 9/8. Но ступени 3—4 и 7—1 (например, ми к фа и си к до’) меньше и равны 256/243. На современной фортепианной клавиатуре эти два типа шагов являются тоном и полутоном соответственно.
Получившаяся в результате гамма называется пифагоровой. По-видимому, она проистекает из математически привлекательного способа итерирования гармонических интервалов – своего рода иерархии простого числового соотношения 3/2. На самом деле все частоты нот могут соотноситься с частотой тоники факторами 3 и 2: соотношение 3 и 7, например, это 34/26:1 и 35/27:1. Даже если от всей этой математики волосы встают дыбом, все равно в ней присутствует разумное логическое обоснование, берущее свое начало от простой пропорции. Пифагорейцы, для которых пропорция и число являлись фундаментальными составляющими вселенной, этим самым поставили музыку на прочную математическую платформу, предположив, что она является вариацией математики, а ее структура вписана в саму природу.
Рис. 3.9 Другие ноты в мажорной гамме можно «вставить» посредством того же шага на целый тон с приростом частоты 9/8 (а). В качестве альтернативы все ноты можно получить путем повторяющегося прибавления квинты вверх (или вниз, чтобы получить фа) и затем вернуть все ноты в диапазон одной октавы (б). Так складывается пифагоров строй.
