Поскольку при продвижении вниз по сети ток крови превращается из пульсирующего в непульсирующий, наша кровеносная система на самом деле не полностью самоподобна и, следовательно, не образует точного фрактала. В области непульсирующего течения, в которой велико влияние на ток вязких сил, минимизация диссипации энергии порождает самоподобие, в котором радиус сосудов уменьшается с постоянным отношением, равным не квадратному корню из двух (√2 = 1,41…), как это было в области пульсирования, а кубическому (3√2 = 1,26…). Таким образом, фрактальная природа системы кровообращения несколько изменяется при переходе от аорты к капиллярам, что отражает изменение природы тока крови от пульсирующей к непульсирующей. И вместе с тем в деревьях от ствола до листьев сохраняется приблизительно одно и то же самоподобие, и радиусы ответвлений последовательно уменьшаются в соответствии с правилом сохранения площади, сохраняя коэффициент √2.
Требование заполнения пространства, согласно которому сеть должна обслуживать весь объем организма на всех масштабных уровнях, также приводит к самоподобию с точки зрения длины сосудов. Чтобы обеспечить заполнение трехмерного пространства, длина сосудов последовательных уровней должна уменьшаться при каждом следующем разветвлении с постоянным коэффициентом 3√2, причем, в отличие от ситуации с радиусами, это отношение остается неизменным на всех уровнях сети, как при пульсирующем, так и при непульсирующем токе.
Раз мы установили, как сеть масштабируется по этим простым правилам внутри каждой особи, нам остается сделать последний шаг: установить, какие связи существуют между видами с разными массами. Для этого можно использовать еще одно следствие из принципа минимизации энергии, а именно то обстоятельство, что суммарный объем сети – то есть суммарный объем крови, содержащейся в организме, – должен быть прямо пропорционален объему самого организма, а следовательно, его массе, что и наблюдается на опыте. Другими словами, отношение объема крови к объему тела постоянно и не зависит от размеров. В случае дерева это очевидно, так как сеть его сосудов и образует дерево – между его ветвями нет ничего аналогичного нашей плоти, так что объем сети просто равен объему дерева
[62].
Объем же сети попросту равен сумме объемов всех ее сосудов или ветвей, а их объем легко вычислить, зная правила масштабирования их длин и радиусов, что связывает самоподобие внутренней сети с размерами организма. Именно математическое взаимодействие между кубическим корнем, определяющим масштабирование длин, и квадратным корнем, определяющим масштабирование радиусов, с учетом линейного масштабирования объема крови и неизменности концевых модулей и приводит к тому, что аллометрическое масштабирование между разными видами подчиняется степенным законам с показателями, кратными одной четвертой.
Получающееся магическое число 4, по сути дела, порождается расширением обычных трех измерений объема, обслуживаемого сетью, за счет дополнительного измерения, внесенного фрактальной природой этой сети. Мы поговорим об этом более подробно в следующей главе, в которой мы обсудим общую концепцию фрактальной размерности, но пока достаточно сказать, что естественный отбор воспользовался математическими чудесами фрактальных сетей для оптимизации распределения энергии в организмах таким образом, что организмы работают так, будто они существуют в четырех измерениях, а не в классических трех. В этом смысле повсеместно встречающееся число 4 на самом деле есть 3 + 1. В более общем случае оно равно сумме числа измерений обслуживаемого пространства и единицы. Поэтому, если бы мы жили во вселенной с одиннадцатью измерениями, магическое число было бы равно 11 + 1 = 12, и мы говорили бы об универсальности степенных законов масштабирования с показателями, кратными 1/12, а не ¼.
13. Фракталы: загадка удлиняющихся границ
Математики давно поняли, что существуют геометрии, лежащие за каноническими пределами классической евклидовой геометрии, с древних времен служившей основой математики и физики. Постулаты традиционной системы, которую многие из нас радостно или мучительно усвоили в свое время, по умолчанию считают все линии и поверхности гладкими и непрерывными. Новаторские идеи, использовавшие концепции прерывистости или морщинистости, заложенные в современную концепцию фракталов, считались интересными формальными продолжениями академической математики, но в целом не предполагалось, что они могут играть сколько-нибудь заметную роль в реальном мире. Совершить фундаментальное открытие, показавшее, что морщинистость, разрывность, шероховатость и самоподобие – словом, свойства фрактальности, – напротив, повсеместно распространены в том сложном мире, в котором мы живем, выпало французскому математику Бенуа Мандельброту
[63].
Задним числом кажется весьма удивительным, что эта идея не приходила в голову величайшим математикам, физикам и философам в течение более чем двух тысяч лет. Подобно многим великим прорывам, открытие Мандельброта теперь представляется почти «очевидным», и трудно поверить в то, что это наблюдение не было сделано несколькими веками раньше. В конце концов, «натуральная философия» в течение очень долгого времени была одним из главных направлений интеллектуальных поисков человечества, и почти все мы знакомы с цветной капустой, сосудистыми системами, ручьями, реками и горными хребтами – то есть теми самыми объектами, которые считаются сейчас фрактальными. Однако почти никто не обдумывал ни общую для них структурную и организационную регулярность, ни математические средства для их описания. Вероятно, подобно Аристотелеву предположению о том, что тяжелые предметы «очевидно» падают быстрее, платоновский идеал гладкости, воплощенный в классической евклидовой геометрии, настолько прочно укоренился в нашей душе, что проверки его справедливости на реальных примерах пришлось ждать очень долгое время. Человеком, осуществившим такую проверку, был необычный британский эрудит по имени Льюис Фрай Ричардсон, почти случайно заложивший основу, вдохновившую Мандельброта на изобретение фракталов. История о том, как Ричардсону это удалось, необычайно интересна, и я вкратце перескажу ее здесь.
Идеи Мандельброта предполагают, что при рассмотрении через грубую линзу с переменным разрешением проступают скрытые простота и регулярность, лежащие в основе необычайной сложности и многообразия многих черт окружающего нас мира. Более того, математика, описывающая самоподобие и заложенные в нем рекурсивные изменения масштаба, совпадает со степенными законами масштабирования, описанными в предыдущих главах. Другими словами, степенные законы масштабирования – это математическое выражение самоподобия и фрактальности. Поэтому, так как животные подчиняются степенным законам масштабирования, как внутри отдельных особей, в отношении геометрии и динамики структуры их внутренних сетей, так и при переходах от вида к виду, они – а значит, и все мы – живые проявления самоподобных фракталов.
