Можно представить себе предельный случай кривой, настолько морщинистой и извилистой, что она, по сути дела, заполняет целую поверхность. Тогда, даже хотя она и остается линией с «обычной» размерностью, равной 1, с точки зрения свойств масштабирования она ведет себя как поверхность, и ее фрактальная размерность равна 2. Такое любопытное обретение дополнительного измерения есть общее свойство заполняющих пространство кривых, к которому мы вернемся в следующей главе.
В мире природы нет почти ничего гладкого: в нем по большей части встречаются объекты морщинистые, неправильные и зубчатые, и очень часто самоподобные. Взять хотя бы леса, горные хребты, овощи, облака или поверхность океанов. Поэтому большинство физических объектов не имеет абсолютной объективной длины, и при их измерении чрезвычайно важно учитывать, с каким разрешением оно производится. Почему же осознание столь фундаментального и, как теперь кажется, столь очевидного факта заняло более двух тысяч лет? По всей вероятности, это связано с двойственностью, которая возникла по мере того, как человек постепенно разрывал тесные связи с миром природы и все более отдалялся от естественных сил, определяющих нашу биологию. Когда мы изобрели язык, научились с выгодой для себя использовать экономию на масштабе, образовали сообщества и начали изготавливать искусственные предметы, мы, по сути дела, изменили геометрию своего повседневного мира и его ближайших окрестностей. В проектировании и изготовлении разработанных человеком предметов, будь то примитивные керамические горшки и орудия или современные автомобили, компьютеры и небоскребы, мы используем и ценим простоту прямых линий, гладких кривых и гладких поверхностей. Этот подход был блестяще формализован и отражен в развитии количественных измерений и изобретении математики, в частности в идеализированной парадигме евклидовой геометрии. Эта математика соответствует миру окружающих нас рукотворных объектов, который мы создали в процессе развития из ничем не заметного млекопитающего в общественного Homo sapiens.
Существуя в этом новом мире артефактов, мы неизбежно приучились рассматривать его сквозь линзу евклидовой геометрии – прямых линий, гладких кривых и гладких поверхностей, – не видя, по меньшей мере с научной и технологической точек зрения, того, как нам кажется, беспорядочного, сложного, запутанного мира природы, из которого мы возникли. Он в основном остался в воображении художников и писателей. Хотя в нашем новом, более правильном искусственном мире измерения и играют центральную роль, мир этот обладает изящной евклидовой простотой, так что о неприятных вопросах, например о разрешении, можно не беспокоиться. В этом новом мире длина есть длина, и дело с концом. Однако в «природном» мире, непосредственно окружающем нас, это совсем не так. В лаконичной формулировке Мандельброта: «Гладкие формы редки в дикой природе, зато имеют огромное значение в башнях из слоновой кости и на фабриках».
Математики рассматривали негладкие кривые и поверхности еще с начала XIX в., но их не занимала распространенность такой геометрии в естественном мире. Они стремились лишь к изучению новых идей и концепций, представлявших в первую очередь теоретический интерес, например, чтобы понять, можно ли сформулировать непротиворечивые геометрические системы, нарушающие священные постулаты Евклида.
Ответ на этот вопрос оказался утвердительным, и Мандельброт имел все возможности воспользоваться этим обстоятельством. В отличие от Ричардсона он получил образование в более формальных традициях классической французской математики и был знаком со странным миром абстрактных, покрытых морщинами, неевклидовых кривых и поверхностей. Его великий вклад состоял в том, что он увидел, что открытию Ричардсона может быть придано твердое математическое основание и что экзотические геометрии, с которыми играли теоретики от математики и которые, казалось бы, не имеют ничего общего с «реальностью», на самом деле имеют к ней самое непосредственное отношение – в некоторых аспектах, возможно, даже более непосредственное, чем евклидова геометрия.
Вероятно, еще большее значение имело осознание им возможности обобщения этих идей на области гораздо более широкие, чем вопросы длин границ и побережий, на практически любые измерения, в том числе даже времени и частот. В число таких примеров входят наш мозг, шарики скомканной бумаги, молнии, речные системы и временные последовательности – например, электрокардиограммы (ЭКГ) или поведение фондового рынка. Выяснилось, что в течение одного часа торговли финансовые рынки испытывают в среднем такие же колебания, что и в течение суток, месяца, года или десятилетия. Рисунки этих колебаний оказываются попросту нелинейно масштабированными копиями друг друга. Поэтому, взглянув на характерный график изменений индекса Доу – Джонса за некоторый период, нельзя сказать, идет ли речь о последнем часе или о последних пяти годах: распределение спадов, подъемов и пиков остается приблизительно одинаковым независимо от длительности временного отрезка. Другими словами, поведение фондового рынка образует самоподобную фрактальную кривую, повторяющуюся на всех временных масштабах в соответствии со степенным законом масштабирования, численным выражением которого служит степенной показатель или, что то же, фрактальная размерность.
Вы можете решить, что это знание позволит вам быстро разбогатеть. Хотя оно, несомненно, позволяет по-новому взглянуть на скрытые регулярные черты фондовых рынков, предсказательной силой оно обладает только в грубом, усредненном смысле и никакой конкретной информации о поведении отдельных курсов не дает. Тем не менее оно является важной частью понимания динамики рынков на разных временных масштабах. Это обстоятельство способствовало развитию новой междисциплинарной отрасли финансовой науки, называемой эконофизикой, и побудило инвестиционные компании нанимать физиков, математиков и специалистов по информатике для разработки новых инвестиционных стратегий с использованием идей такого рода
[70]. Многие из них весьма разбогатели, хотя не вполне ясно, насколько именно большую роль в их успехе сыграли физика и математика.
Самоподобие, наблюдаемое в ЭКГ, также может стать важным показателем состояния сердца. Можно было бы подумать, что у более здорового сердца должна быть более гладкая и регулярная кардиограмма, то есть здоровое сердце должно иметь меньшую фрактальную размерность, чем больное. На самом деле все обстоит как раз наоборот. Здоровые сердца имеют относительно высокие фрактальные размерности, что дает большее количество пиков и неровностей ЭКГ, а у сердец, пораженных заболеваниями, эта величина оказывается меньшей, а ЭКГ более гладкой. Собственно говоря, у пациентов с наиболее опасными кардиологическими заболеваниями фрактальная размерность близка к единице, а ЭКГ обладает нетипичной гладкостью. Таким образом, фрактальная размерность ЭКГ позволяет получить потенциально мощное дополнительное средство диагностики для количественного выражения заболеваний и состояния здоровья сердца
[71].
