Поясним это положение на знакомом примере. Представим себе стирку простыней. Заботясь об экономии энергии и в то же время стремясь сэкономить собственные деньги и время, мы ждем несколько недель, пока у нас не накопится достаточно грязных простыней, чтобы заполнить весь барабан стиральной машины. Поэтому, когда приходит время стирки, мы набиваем в машину как можно больше простыней – столько, сколько позволяет объем ее барабана. Вспомним теперь, что обычные объемы растут быстрее, чем площади, так что, если бы можно было увеличить все размеры стиральной машины в два раза, сохраняя ее форму неизменной, ее объем возрос бы в восемь (23) раз, а площади всех ее поверхностей – в четыре (22) раза. Поэтому можно наивно предположить, что раз простыни, по существу, представляют собой поверхности и, следовательно, двумерны (так как их толщина пренебрежимо мала), то в стиральную машину удвоенных размеров поместится в четыре раза больше простыней. Однако если забить все простыни в барабан так, чтобы они заполнили весь его объем, увеличившийся в восемь раз, окажется, что в машину помещается в восемь, а не в четыре раза больше простыней. Другими словами, суммарная эффективная площадь двумерных простыней, заполняющих трехмерную стиральную машину, масштабируется не как площадь, а как объем, так что в этом смысле мы превращаем площадь в объем.
Это происходит потому, что мы берем гладкую евклидову поверхность, простыню, и комкаем ее, создавая большое число складок и морщин, тем самым превращая ее во фрактал. И в самом деле, распределение размеров складок подчиняется классическому степенному закону: существует несколько очень длинных складок и множество очень мелких, и их количество следует степенному распределению. Это обстоятельство было изучено и проверено на опытах со скомканной бумагой
[75]. В реальности невозможно скомкать все простыни в стиральной машине – или листы бумаги – так, чтобы они полностью заполняли объем, но можно довольно близко подойти к этому пределу. В связи с этим измеренные фрактальные размерности таких объектов бывают слегка меньше 2. Собственно, вам и ни к чему полностью скомканные простыни: стиральная машина, скорее всего, не сможет выстирать их как следует, если они будут полностью сжаты.
А вот биологические сети, побуждаемые силами естественного отбора к максимизации поверхностей обмена, достигают максимального заполнения пространства и, следовательно, масштабируются как трехмерные объемные тела, а не двумерные евклидовы поверхности. Это дополнительное измерение, возникающее из оптимизации производительности сети, приводит к тому, что организмы работают так, как если бы они действовали в четырех измерениях. В этом состоит геометрическая причина возникновения показателей, кратных одной четверти. Вместо показателей ⅓, которые действовали бы для гладких, нефрактальных евклидовых объектов, в их масштабировании работают показатели ¼. Хотя живые существа занимают трехмерный объем, их внутренняя физиология и анатомия ведут себя так, как будто они четырехмерны.
Поэтому вовсе не случайно, что ветвление с сохранением площади является чертой многих биологических сетей, хотя в разных анатомических конструкциях могут использоваться разные динамические сценарии. В отличие от генетического кода, развившегося в истории форм жизни всего один раз, фрактальные распределительные сети, создающие дополнительное четвертое измерение, возникали неоднократно. Их примеры можно найти в поверхностях листьев, жабр, легких, кишечника, почек, митохондрий и в разветвленной архитектуре дыхательных и циркуляционных систем самых разных организмов, от деревьев до губок. Таким образом, неудивительно, что даже одноклеточные организмы, например бактерии, используют это свойство и демонстрируют степенное масштабирование.
Вероятно, степенные законы масштабирования с четвертными показателями так же универсальны и так же относятся исключительно к области биологии, как биохимические каналы метаболизма, структура и принципы работы генетического кода или процесс естественного отбора. У подавляющего большинства организмов показатель степенного закона масштабирования уровня метаболизма очень близок к ¾, а внутренних временных параметров и расстояний – к ¼. Это, соответственно, максимальное и минимальное значение эффективной размерности площади поверхности и длины линии в заполняющей пространство фракталоподобной сети. Использование вариаций этой фрактальной темы для создания невероятного многообразия биологических форм и функций свидетельствует о могуществе естественного отбора. Но кроме того, оно свидетельствует о наличии жестких геометрических и физических ограничений процессов метаболизма, вынуждающих все эти организмы подчиняться набору общих степенных законов масштабирования с четвертными показателями. Фрактальная геометрия в буквальном смысле слова придает жизни дополнительное измерение.
Радикально отличное положение существует с почти всеми рукотворными, разработанными человеком артефактами и системами, будь то автомобили, дома, стиральные машины или телевизоры: ни в каких из них не применяется оптимизация производительности за счет возможностей фракталов. В очень ограниченной степени она используется в электронном оборудовании, например компьютерах и смартфонах, но по сравнению с работой нашего организма функционирование этих устройств остается чрезвычайно примитивным. Тем не менее те создаваемые человеком системы, которые растут органически – например, города и, в ограниченной степени, корпорации, – бессознательно развивают в себе самоподобные фрактальные структуры, оптимизирующие их работу. Мы вернемся к этому вопросу в главах 8 и 9.
2. Почему не бывает млекопитающих, маленьких как муравьи?
Идеализированные математические фракталы продолжаются «вечно». Их повторяющееся самоподобие сохраняется до бесконечности, неограниченно, от сколь угодно малого до сколь угодно большого. Однако в реальности существуют ясные пределы. Головку брокколи можно разделить лишь конечное число раз, после чего они утратят наконец свойство самоподобия, и начнет проявляться скрывающаяся под ним геометрия тканей, клеток и в конце концов молекулярных составляющих. Спрашивается, насколько далеко можно масштабировать в сторону уменьшения – или, если уж на то пошло, увеличения – млекопитающее так, чтобы оно все еще оставалось млекопитающим? А может быть, никаких пределов и нет? Но тогда можно спросить, почему не существует млекопитающих мельче землеройки, весящей всего несколько граммов, или крупнее синего кита, весящего более ста миллионов граммов.
Ответ на этот вопрос лежит в тонкостях устройства сетей и их взаимодействия с физиологическими пределами и следует той же логике, что и классическое рассуждение Галилея о существовании пределов для максимальных размеров конструкций. В отличие от большинства биологических сетей система кровообращения млекопитающих – это не один, а смесь двух самоподобных фракталов, что отражает переход природы тока крови с преимущественно пульсирующей («переменного тока») на преимущественно непульсирующую («постоянный ток») по мере перемещения крови из аорты в капилляры. Бо́льшая часть крови находится в крупных сосудах верхней части сети, в которой превалирует переменный ток, что и дает степенной закон масштабирования уровня метаболизма с показателем ¾.
