Рост системы, будь то экономика или популяция, часто выражают при помощи величины, которую называют периодом удвоения: она просто равна тому времени, которое занимает увеличение размеров системы в два раза. Экспоненциальный рост характеризуется постоянным периодом удвоения, что тоже кажется довольно безобидным свойством, пока не поймешь, что это подразумевает, например, что удвоение численности населения с десяти до двадцати тысяч, то есть прибавление всего 10 тысяч человек, занимает столько же времени, сколько удвоение с 20 до 40 млн, при котором добавляется целых 20 млн человек. Как это ни удивительно, период удвоения численности населения мира, как было указано выше, систематически сокращается: удвоение с 500 млн до одного миллиарда заняло 300 лет, с 1500 по 1800 г.; следующее удвоение до 2 млрд – всего 120 лет, а следующее после него, до 4 млрд, всего лишь 45 лет. Эта тенденция проиллюстрирована на рис. 31. Таким образом, до недавнего времени наша численность росла с увеличивающейся скоростью, превышающей чисто экспоненциальный рост! Хотя за последние 50 лет это ускорение стало уменьшаться, численность человечества все еще растет, по сути дела, экспоненциально.
Я не буду приводить других определений и сухой статистики, а лучше расскажу пару забавных историй, которые ярче иллюстрируют эти идеи. Удивительные привлекательность и опасность экспоненциального роста известны уже давно, особенно на Востоке, где сложные проценты понимались и применялись еще в древности. Иллюстрацию этого можно найти в одной из величайших эпических поэм мировой литературы, «Шахнаме», написанной около тысячи лет назад прославленным персидским поэтом Фирдоуси. Это произведение – самая длинная эпическая поэма в мире, ее написание заняло тридцать лет. Приблизительно в это же время в Персии появились шахматы, завезенные туда из Индии, в которой они были изобретены. Фирдоуси отразил популярность этой игры, использовав шахматную доску в качестве иллюстрации особенностей экспоненциального роста. Вот одна из версий этой истории.
Когда изобретатель шахмат показал эту игру царю, тот был настолько увлечен ею, что предложил мудрецу самому назначить себе награду за изобретение столь замечательной и трудной игры. Имея склонность к математике, тот попросил у царя чрезвычайно скромную на первый взгляд награду – всего несколько зерен риса. Однако их следовало отмерить таким образом: за первую клетку шахматной доски он должен был получить одно зернышко, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать и так далее, удваивая число зерен на каждой следующей клетке. Царь, несколько обиженный столь, по-видимому, убогим ответом на свое весьма щедрое предложение, все же решил удовлетворить просьбу изобретателя и повелел своему казначею отсчитать зерна по предложенной изобретателем схеме. Однако, когда прошла неделя, а казначей все еще не исполнил приказания, царь призвал его и спросил о причинах такой невероятной медлительности. В ответ казначей сказал царю, что для выплаты изобретателю его награды не хватит всех богатств, имеющихся в царстве.
Посмотрим, почему ответ казначея не только справедлив, но и, на самом деле, сильно недооценивает размеры награды. Понять это очень просто. Вспомним, что на шахматной доске есть 64 (8 × 8) клетки. По условиям определения награды на первую клетку следует положить 1 зерно, на вторую – 2, на третью – 4 и так далее. Таким образом, например, на восьмой клетке (расположенной в правом верхнем углу доски) должно быть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128 зерен. Однако на последней, 64-й, клетке, расположенной в правом нижнем углу доски, число зерен должно быть равно произведению уже 63 двоек (то есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2… 63 раза). Получается поистине астрономическое число: если вы вычислите его на калькуляторе своего компьютера или смартфона, вы увидите, что оно равно 9 223 372 036 854 775 808, то есть немногим меньше десяти миллионов триллионов рисовых зерен! Если ссыпать весь этот рис в одну кучу, она оказалась бы выше Эвереста.
Эта история демонстрирует огромную мощь и абсурдные последствия неограниченного экспоненциального роста. Она также иллюстрирует некоторые из его неочевидных характеристик: рост начинается на удивление медленно, но потом полностью выходит из-под контроля и поглощает все на своем пути. Более того, численность экспоненциально растущего населения в любой момент превышает суммарное число всех особей, существовавших ранее. Например, число зерен на любой клетке всегда больше, чем сумма количеств зерен на всех предшествующих ей клетках, вместе взятых. Таким образом, сейчас на нашей планете живет больше людей, чем их всего жило с момента начала экспоненциального роста и до сих пор. Поэтому достижение уровня численности населения, которое потенциально будет невозможно прокормить, или, по-видимому, «бесконечной» численности может случиться в системе довольно неожиданно, что и иллюстрирует самым убедительным образом наша следующая поучительная история. Как будет показано ниже, в естественных сообществах, находящихся на стадии экспоненциального роста, например лесах или колониях бактерий, обычно существуют естественные механизмы обратной связи, порождающие экологические пределы роста, часто связанные с конкуренцией и ограниченностью ресурсов окружающей среды.
Это подводит меня ко второй поучительной истории, касающейся вопроса несколько талмудического свойства. Речь идет о гипотетическом мысленном эксперименте, основанном на реальном процессе роста колоний бактерий. Предположим, что мы хотим приготовить партию антибиотика – например, пенициллина, – и начинаем этот процесс с одной бактерии. Допустим простоты ради, что нам известно, что раз в минуту наша бактерия делится на две абсолютно одинаковые дочерние бактерии. Таким образом, через минуту мы получаем две бактерии, каждая из которых еще через минуту тоже делится на две, что дает нам уже четыре бактерии. Еще через минуту их становится 8, затем 16 и так далее: через каждую следующую минуту их число удваивается. Аналогия с экспоненциальным ростом числа зерен на шахматной доске очевидна. Допустим, мы начали процесс роста в восемь утра и тщательно рассчитали, что контейнер должен быть целиком заполнен бактериями ровно к полудню. Вопрос: в какой момент между восемью утра и полуднем контейнер будет заполнен наполовину?
Те, кто отвечает на этот вопрос неправильно, обычно считают, что этот момент наступит где-то несколько позже середины промежутка между 8:00 и 12:00, например в 10:30 или в 11:15. Правильный ответ, удивляющий многих, состоит в том, что этот момент наступает в 11:59, всего за одну минуту до полудня. Вы, конечно, поняли, в чем тут дело: раз численность бактерий удваивается каждую минуту, она должна быть равна половине итоговой численности за одну минуту до окончания процесса, то есть до полудня – в 11:59 утра.
Я хотел бы несколько развить этот мысленный эксперимент и, так сказать, обратить время вспять: за 1 минуту до полудня контейнер заполнен наполовину; за 2 минуты до полудня – лишь на четверть (½ × ½ = ¼), за 3 минуты – на 1/8 (½ × ½ × ½) и так далее. В 11:55, всего за 5 минут до полудня, контейнер заполнен всего лишь на 1/32 (½ × ½ × ½ × ½ × ½), то есть бактерии занимают лишь около 3 % его объема, и их почти не видно. Аналогичный расчет показывает, что в 11:50, когда до полудня остается всего 10 минут, контейнер заполнен всего на 0,1 % и кажется совершенно пустым. Только за последние несколько минут, соответствующие малой доле всего периода существования этой бактериальной вселенной, и непосредственно перед ее неожиданным концом в контейнере происходит хоть что-то заметное.
