Сообщения от сумасшедших любителей, которые утверждали, что добились решения известных задач, профессионалы уровня Харди получали регулярно. Математик пролистал несколько страниц, вложенных в конверт, и отбросил письмо из Индии, как и многие похожие. Однако мельком увиденные уравнения не шли у него из головы. Спустя несколько часов ученый поймал себя на том, что все еще думает о них. Он отыскал конверт в груде мусора и показал письмо коллеге Джону Литтлвуду. За доказательство странных теорем они взялись вместе и с удивлением обнаружили, что некоторые дались им с большим трудом, а в другие, по словам Харди, «едва ли возможно поверить». «Неужели, — подумал он, — это письмо не от сумасшедшего, а совсем наоборот?»
Формулы были настолько странными и непривычными, что Харди отметил: «Они должны быть правильными, иначе ни у кого не хватило бы воображения их выдумать». В тот день у него возникло слабое подозрение: произошло знакомство с одним из самых блестящих и неординарных математиков всех времен. Звали его Сриниваса Рамануджан.
Гений Рамануджана
Рамануджан был бедным пухлым коротышкой из Южной Индии. Больше всего на свете он любил математику, и эта любовь нередко доставляла ему неприятности. Поскольку он не желал изучать другие предметы, его выгнали из университета. Особую страсть Рамануджан питал к уравнениям. Они были единственным, что его волновало. В свободное время или в очередной раз лишившись работы, он часами просиживал перед своим домом с грифельной доской, на которой играл с формулами. Матери иногда так и не удавалось дождаться к ужину увлекшегося сына, и, отправляясь спать, она выносила и вкладывала ему в руку еду.
Рамануджан жил за тысячи миль от математических корифеев, и даже найти высококачественные учебники ему было непросто. Настольной книгой Рамануджана стал с трудом добытый том Джорджа Карра Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics («Сборник элементарных результатов чистой математики»). Сам Карр не считается выдающимся математическим гением. Свою книгу он написал для студентов, включил в нее теоремы из разных областей математики, но не привел никаких объяснений или доказательств. Но даже без них сборник Карра стал подспорьем для столь одержимого формулами ученика, как Рамануджан. Он не мог просто скопировать и запомнить, как доказываются теоремы — ему пришлось до всего дойти самому.
Многие комментаторы того времени, в том числе Харди, полагали: рождение и ранние годы в бедной семье, поздно полученный доступ к серьезной математике непоправимо повредили гению Рамануджана. Однако современные психологические эксперименты вносят нотку оптимизма в оценку той ситуации столетней давности. По современным взглядам, условия, в которых развивался юноша, вполне допустимы в качестве альтернативного способа обучения. У Рамануджана был только обширный список теорем Карра, и ему пришлось практиковать один из самых эффективных методов глубокого понимания предмета, используя только собственную причудливую одержимость математическими уравнениями.
Эффект тестирования
Представьте себя студентом. До экзамена мало времени, и у вас три варианта его распределения. Во-первых, можно еще раз просмотреть изученный материал — свои заметки и книги — и зубрить, сколько успеете, до твердого запоминания и уверенности в себе. Во-вторых, проверить себя: не заглядывая в книгу, попытаться вспомнить, о чем в ней говорится. И, наконец, создать карту понятий — составить диаграмму и включить в нее основные термины, схематично обозначив, как они организованы и связаны с другими элементами. Времени хватит только на один способ. Какой из них предпочесть, чтобы сдать экзамен на отлично?
Ответ на этот вопрос искали психологи Джеффри Карпик и Джейнел Блант
[43]. Исследователи разделили студентов на четыре группы, каждая получила одинаковое время на подготовку. Ученые предложили испытуемым применить разные стратегии: просмотреть текст один раз; просмотреть текст повторно; попытаться вспомнить выученное; составить карту понятий. Участников каждой группы попросили спрогнозировать результат по предстоящему тесту.
Те, кто выбрал повторный просмотр, рассчитывали на высший балл. Ожидания групп с однократным прочтением материала и составителей карт понятий были чуть скромнее. Те же, кто практиковал свободное запоминание (попытку сохранить в памяти как можно больше, не заглядывая в книгу), оценили результат своего финального выступления пессимистично.
Фактические результаты, однако, даже не приблизились к прогнозам. Самопроверка — попытка восстановить информацию, не подглядывая в текст, — по эффективности далеко опередила все остальные варианты. Отвечая на вопросы по содержанию текста, практиковавшие свободное запоминание продемонстрировали на 50 % больше информации, удержанной в памяти, чем участники других групп. Как же получилось, что студенты, потратившие годы на получение знаний из первых рук, сумели настолько ошибиться в оценке результативности разных приемов?
Можно возразить: дело в мере успеха. Принцип целенаправленности утверждает, что перенос труден. А поскольку самотестирование и фактическое тестирование схожи, не исключено, что именно из-за этого метод работает лучше. Если бы использовались разные способы оценивания будущего результата, было бы разумно предположить, что на первое место выйдут повтор материала или составление карты понятий. Карпик и Блант провели другой эксперимент и убедились, что и это объяснение не годится. Заключительным испытанием для испытуемых стало создание карты понятий. Но свободное запоминание оказалось результативнее, чем ее применение для обучения.
Другим вероятным объяснением эффективности самопроверки служит обратная связь. Пассивно знакомясь с информацией, вы не получаете никаких сигналов о том, что вам уже знакомо, а чего вы не знаете. Тесты обычно предполагают контроль, и это объясняет, почему студенты, практиковавшие самопроверку, превзошли тех, кто составлял карты понятий или дважды просто перечитывал материал. Верно, обратная связь важна, но напомню еще раз: закрепление не сводится исключительно к ее получению. В упомянутых экспериментах студентам предлагалось использовать свободное запоминание, но не сообщалось, что именно они пропустили или в чем ошиблись. Попытка вызвать знание из памяти сама по себе является мощным средством обучения, выходящим за пределы практики или обратной связи.
Такой взгляд на обучение показывает, как давнишняя книга Карра с ее списками теорем без доказательств могла стать невероятным инструментом для достижения блестящих результатов в математике: главным фактором в этой истории была мотивация Рамануджана. Поскольку у него под рукой не было готовых решений, ему пришлось изобрести собственные варианты, извлечь информацию из собственного разума, а не из книги.
Парадокс изучения
Если лучшая практика закрепления — попытка вспомнить факты и понятия, то почему студенты не понимают этого? Почему многие предпочитают придерживаться создания карт понятий или еще менее продуктивного пассивного повторения, если можно просто захлопнуть книгу и постараться вспомнить как можно больше, приблизив себя к лучшему результату?
