С другой стороны, вот реальная история именитого биолога, который с помощью модели роста по логистической кривой решил предсказать численность населения США. Он взял данные по началу ХХ в., щелкнул пальцами и пришел к выводу, что размер населения страны стабилизируется где-то около отметки в 200 млн человек – цифра, которую мы перекрыли 120 млн человек назад.
Если она не помогает нам предсказать, когда массовое увлечение начнет выравниваться, то какая же тогда польза от логистической модели? Может быть, это просто сказка, всего лишь история в графической форме?
Может быть. Но не преуменьшайте ее ценность. Мы с вами – персонажи этой истории. Структура рассказа определяет наши действия, наши мысли, наши «заказы навынос». Мы с вами – существа, рассказывающие истории. Эти истории определяют наши действия и мысли. И даже если история роста по логистической кривой не помогает делать предсказания, она может, по крайней мере, намекнуть, что ждет нас в будущем, обогатить наше мышление и указать, на что стоит обратить внимание.
То, на что указывают нам математические модели, слишком сложно для восприятия. Небольшое упрощение – здоровая человеческая реакция, по крайней мере до тех пор, пока мы читаем написанное мелким шрифтом прежде, чем поиграть в игрушку.
VIII
То, что ветер оставляет после себя
Яркий ноябрьский день в Массачусетсе. Ветер сдувает листья с деревьев, словно зима спешит сорвать осенние украшения. Я держу в руке чашку чая и рассказываю про эту книгу, на тот момент представляющую собой неряшливо намеченные контуры и несколько наполовину готовых абзацев, своей подруге, преподавательнице английского языка Брайанне. Я объясняю, что это экскурсия в мир математического анализа, но без вычурных уравнений. Никаких замысловатых вычислений. Только идеи и понятия, иллюстрированные историями, охватывающими весь опыт человечества – от науки до поэзии, от философии до фантазии, от высокого искусства до повседневной жизни. Легко краснобайствовать, когда книга еще не написана.
Брайанна слушает хорошо. Она сама относит себя к «нематематическим людям», но, по моему мнению, любопытна, вдумчива, проницательна. Именно такая, как читатель, до которого я надеюсь достучаться. Пока мы болтаем, ей что-то приходит в голову – загадка, которую когда-то загадал ее коллега, учитель математики. Она хватает листок бумаги и рисует прямоугольник.
– Какова длина отмеченной точками части? – спрашивает она.
– Семь сантиметров, – отвечаю я. – Три плюс четыре.
– Хорошо, – говорит она, – а что насчет этого?
– По-прежнему семь, – говорю я. – Два горизонтальных участка в сумме дают четыре; два вертикальных – три. Если разбить линию на несколько частей, это не изменит общую длину.
– Правильно, – соглашается она. – А чему состоящая из точек часть равна сейчас?
– Все еще семь. По той же логике.
Она чертит снова:
– А сейчас?
– Семь…
– Хорошо, а если мы будем делать бесконечно малые шаги по этой лестнице и у нас получится такая форма?
Я нахмурился. Это теорема Пифагора, самое старое правило практически в любом учебнике: a2 + b2 = c2. В этом случае если а = 3, а b = 4, то с = 5. Я так и сказал.
– Пять. Да, точно. – Брайанна наставила на меня карандаш, как микрофон. – А что здесь происходит?
В гостиной находятся следующие люди: (1) муж Брайанны Тайлер, в прошлом преподаватель математического анализа, а ныне предприниматель в сфере интеллектуального анализа данных, (2) моя жена Тарин, математик-исследователь, и (3) я, человек, который пишет книгу о математике. На троих у нас более 40 лет изучения математики и научные степени, полученные в Массачусетском технологическом институте, Калифорнийском университете в Беркли и Йеле. Мы все знаем всё о пределах и сходимости бесконечного ряда, о геометрии аппроксимации. Мы знаем, что семь не равно пяти.
Но перед этой задачей мы теряемся. Я чувствую себя так, словно мироздание меня одурачило – подкралось со спины и хлопнуло по левому плечу, чтобы я посмотрел не в том направлении. Я, кажется, слышу его хихиканье. Или это просто шум ветра.
– Неравномерная сходимость? – таинственно бормочет Тарин под нос.
– Нет четких пределов, – говорит Тайлер несколько неуверенно.
У меня самого в голове крутится несколько возможных опровержений в пику мирозданию, но ни одно из них ни капельки ничего не проясняет и не объясняет.
Все, что я могу сказать:
– Ух!
Загадка Брайанны нацелена в самое сердце математического анализа, в основополагающее философское понятие под названием предел. Предел – это конечный пункт назначения бесконечного процесса. Вы не обязательно достигнете предела: вы подходите к нему все ближе и ближе – ближе, чем это можно описать или вообразить. Брайанна в своей загадке установила по-настоящему «скользкий» предел. Он неким парадоксальным образом указывает сразу в двух направлениях. На каждом этапе длина равняется семи, а потом каким-то образом в самом конце вечности она становится пятью.
Подобные парадоксы давно одолевают математический анализ. Поколение спустя после того, как Готфрид Лейбниц и Исаак Ньютон впервые разработали эту часть математики, Джордж Беркли устраивал им трепку за небрежный образ мыслей. Ньютон требовал пристально изучать значения не до того, как они исчезнут (когда они все еще являются конечными числами), не после этого (когда они равны нулю), но когда они исчезают. Что он имел в виду?
«А что это за… исчезающие бесконечно малые? – глумился Беркли. – Они не являются ни конечными, ни бесконечно малыми величинами, ни даже ничем. Может быть, мы не будем называть их призраками былых величин?»
