На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.
Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.
Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».
Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».
В истории математического анализа дьявол Вейерштрасса с заостренными отметинами на лице олицетворяет собой точку, где произошел резкий разворот, внезапное изменение направления.
В такие времена может показаться, что математика вначале потеряла голову где-то в облаках, а потом потеряла облака под своим собственным задом. Кого заботят невозможные детали, все эти абстракции, которые нельзя даже представить? Не охотился ли Вейерштрасс из любви к искусству всего лишь за каким-то философским понятием, рассчитанным на дешевый успех, презирая главное предписание о том, какой должна быть математика? Ну, вы знаете, полезной.
Виновен по всем пунктам. «Это действительно так, – говорил Вейерштрасс, – нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом».
И тем не менее, если вы с детства привыкаете к существованию резких поворотов, возможно, вы увидите, куда они ведут. Эта недифференцируемость повсюду, характерная черта, которая делает шипастого питомца Вейерштрасса таким пугающим и нереальным, особенность, которая ошарашила целое поколение математиков… В общем, именно так и работает наша модель броуновского движения.
Путь частицы при броуновском движении не просто включает в себя несколько углов. Вся их жизнь – острые углы. Каждое мгновение всюду присутствующая пыль делает новое и совершенно непредсказуемое движение в безумном танце. Поскольку производная – всего лишь скорость, броуновское движение – это что-то вроде неподвижного движения, глухой отголосок деятельности, которую традиционный математический анализ никак не может описать, разве что сказать «Вау!», «Ого!» или «Что?!».
Мне нравится необычность броуновского движения – пути, который ни одна рука не может зарисовать, движения, которое нельзя обозначить никакой скоростью. Именно поэтому власти позволили Броуну скрыться с фрагментом Большого сфинкса? Возможно, они чувствовали, что его работа, как загадки сфинкса и математический анализ, была игрой парадоксов и древних головоломок – одновременно совершенно невозможной и полностью реальной.
Х
Зеленоволосая девушка и многомерная улитка
Где-то в далеком будущем, когда проводить отпуск с семьей на Марсе стало обычным делом, а то, что кто-то носит зеленые волосы, припорошенные жемчужной пылью, никого не удивляло, жила-была счастливая в браке жена по имени Оона. Ее муж Джик был «самым прекрасным мужчиной во всей Солнечной системе», хотя главным доказательством этого заявления было то, что «он всегда помнил о годовщинах», так что, возможно, конкурентов у него было не очень много. Далее мы узнаем, как Джик прилагал усилия для того, чтобы «поделиться своими интересами», и регулярно давал Ооне уроки математики.
В самые мирные моменты их медового месяца (а они отправились в недорогое стратосферное путешествие вокруг света) он пытался научить ее математическому анализу.
Он объяснял все, он объяснял все про все с самого начала до конца. Он объяснял так много, что она путалась, слушая его.
Как вымышленный персонаж, придуманный в 1948 г., Оона понятия не имела о том, что значит «самоутверждаться за счет женщины». Вместо этого она с радостью принимала уроки Джика и считала себя счастливицей. «Вот здорово! – думала она. – Множество мужей никогда не говорят со своими женами, только жалуются на плохую еду».
Однажды Джик пришел домой с великолепным подарком: «самым лучшим роботизированным мозгом, который когда-либо придумывали». Устройство называлось «визи-мат». Джик объяснил:
Ты пишешь на листочке любое математическое выражение, скармливаешь его машине… и получаешь перевод на язык визуальных представлений того выражения, которое тебя интересует.
В отличие от других подарков Джика визи-мат действительно помогает Ооне. И для высокотехнологичной машины вымышленного будущего он действует достаточно простым способом, показывая, как умножение связано с прямоугольниками.
Например, то, что 5 × 4 = 20, лучше всего можно понять, представив прямоугольник 5 × 4.
Это же работает и для умножения дробных чисел, скажем 6 × 2,5. Вы получаете 12 целых квадратов и шесть половинок, а всего – 15.
Так можно даже объяснить, как «возведение в квадрат» получило свое название, поскольку удвоение количества само по себе создает квадрат.
