Книга Время переменных. Математический анализ в безумном мире, страница 21. Автор книги Бен Орлин

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Время переменных. Математический анализ в безумном мире»

Cтраница 21

Не знаю, какими единицами длины пользовалась Элисса. Вероятнее всего, не метрами, если только она не была одной из первых, кто их применял. Поэтому, скажем, ее полоски соответствовали 60 «бычьим футам» (каждый из которых равен «1/60 общей длины, имевшейся у Элиссы»).

Теперь упорядоченная система геометрии предоставляет бесконечное разнообразие форм для города Элиссы.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Чтобы избежать такого разброса (и сложных расчетов площади), давайте возьмем самый простой класс фигур – прямоугольники.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Имея шкуру быка определенного размера, Элиссе предстояло пойти на сделку. Чем больше она будет расширять основание прямоугольника, тем меньше будет высота, и наоборот. Увеличьте одно из измерений с 17 до 18, и другое тут же понизится с 13 до 12.

Мы можем иначе сформулировать формулу площади прямоугольника: не «ширина × высота», а «основание × (30 – основание)».


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

На графике сверху каждая точка обозначает возможный прямоугольник, зарождающуюся империю Элиссы. На левом краю находятся глупые планы, такие как 1 × 29, на правом – их зеркальные отражения, скажем 29 × 1. Благодаря каждому из них получается очень узкая территория площадью 29 квадратных единиц, зауженная до такой степени, что даже Бостон покажется просторным.

Почему получаются такие нежизнеспособные результаты? Просто рассмотрите производные. Отношение Время переменных. Математический анализ в безумном мире скажет нам о том, как площадь реагирует на изменение основания.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Тем временем Время переменных. Математический анализ в безумном мире скажет нам, как площадь реагирует на изменение высоты.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Увеличьте основание, и площадь чуть-чуть изменится. Увеличьте высоту, и она взлетит ввысь. Если пользоваться другими терминами, Время переменных. Математический анализ в безумном мире ничтожно мало, в то время как Время переменных. Математический анализ в безумном мире огромно. Это порок всех подобных прямоугольников, напоминающих по форме спагетти, с удлиненным основанием и хилой высотой. По такому замыслу почти вся драгоценная бычья шкура уйдет на прижимистую производную, не оставив ничего щедрой.

Более умный план? Тратить, пока производные не станут равны. Это произойдет, как показывает график, когда стороны станут равны, в квадрате 15 × 15.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Решили ли мы проблему Элиссы? Не пора ли перерезать красную ленточку и начать занимать места на парковке? Не так быстро – у принцессы в запасе есть еще один трюк. Вместо того чтобы раскладывать полоски из бычьей кожи по открытой равнине, что, если ей отгородить участок на побережье Средиземного моря? Таким образом, вместо того чтобы выкладывать четыре стороны, ей понадобятся только три.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Ранее Элисса могла позволить себе квадрат 15 × 15. Сейчас она может отгородить область 20 × 20. Площадь увеличивается с 225 единиц до 400, город обрастает пригородами. Теперь-то мы уже можем выбирать мэра и, наконец, начинать жаловаться на строительство?

Однако, чтобы проверить, вернемся к производным. Вот что говорит нам Время переменных. Математический анализ в безумном мире самое маленькое увеличение высоты дает увеличение площади на 10 таких единиц.


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Не так уж плохо! И можно предположить, что то же самое происходит с Время переменных. Математический анализ в безумном мире


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Черт возьми! Дополнительное приращение основания увеличит площадь на 20 таких единиц. Производные не равны!

По результатам проверки это имеет смысл. Каждый маленький участок высоты тянет за собой две стены, тогда как каждый участок основания – только одну. Таким образом, ширина «дешевле» в два раза. Квадратная форма перераспределяет ресурсы: мы ищем форму, при которой обе производные равны.

Теперь пора перейти к другому графику:


Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Оказывается, максимальную площадь займет прямоугольник 15 × 30, охватывающий 450 квадратных единиц.

Триумф, как ни крути! Элисса превратила свой перенаселенный Манхэттен из бычьей шкуры в просторный Хьюстон. Но, использовав кое-что под названием «вариационное исчисление», подразумевающее различные виды кривых, Элисса может получить больше площади от своих ничего не подозревающих партнеров по торговле. Это дает нам в действительности самое оптимальное решение – полукруг, диаметром которого является береговая линия.

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация